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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 4

Seja f : R -> R contínua com f (3) = 4 . Seja

g ( x , y , z ) = int_0^(x + y^2 + z^4) f (t) d t

Calcule:

a) (del g)/(del x) (1,1 , 1)

b) (del g)/(del y) (1,1 , 1)

c) (del g)/(del z) (1,1 , 1)

Passo 1

O enunciado nos dá uma função g (x , y , z) e nos pede para calcularmos as suas derivadas no ponto dado.

O foda desta questão é que g (x , y , z) é apresentada de forma esquisitíssima: é dada pela integral de uma questão desconhecida!!

Sem dúvida, esta é um a questão daquelas desafiadoras. Ela requer que você saiba manipular muito bem derivadas e também usar a definição de integral com precisão.

Passo 2

Para (del g)/(del x) é simples: basta derivar a g em x !

(del g)/(del x) (x , y , z) = (del)/(del x) int_0^(x + y^2 + z^4) f (t) d t

Oooops! Não tão simples pelo visto! E agora? Como se faz para derivar uma integral toda loka?

Bem, neste ponto devemos nos lembrar muito bem da definição de integral, ou seja:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Lembra desta definição lá da infância do cálculo? Pois bem, você já deve ter ouvido 1000 vezes o professor falar que, se (d F)/(d x) (x) = f (x) , então a integral da f é dada por isso aí encima.

Isto facilita um pouco pra nós. Veja, agora podemos escrever

(del g)/(del x) (x , y , z) = (del)/(del x) (F (x + y^2 + z^4) - F (0))

Mas, como F (0) é só uma número constante, temos que

(del g)/(del x) (x , y , z) = (del)/(del x) (F (x + y^2 + z^4))

A expressão continua esquisita... temos a F (x + y^2 + z^4) sendo derivada em relação a algo que não é (x + y^2 + z^4) . Vamos mudar isso agora pela regra da cadeia!

(del)/(del x) (F (x + y^2 + z^4)) = (del)/(del (x + y^2 + z^4)) (F (x + y^2 + z^4)) (del)/(del x) (x + y^2 + z^4)

Mas perai! Se chamarmos w = x + y^2 + z^4 , o que temos aqui é nada mais do que (del F (w))/(del w) . Lembra do seu primeiro professor de cálculo? Seguramente ele estaria gritando pra você agora que isso aí é exatamente igual à f (w) , ou seja, f (x + y^2 + z^4) ! Ou, seja, descobrimos que

(del g)/(del x) (x , y , z) = f (x + y^2 + z^4) underset(= 1)(ubrace (del)/(del x) (x + y^2 + z^4))

Agora sim! Eu te pergunto: Quanto vale (del g)/(del x) no ponto (1,1 , 1) ? É só substituir:

(del g)/(del x) (1,1 , 1) = f (1 + 1^2 + 1^4) = f (3)

Mas f (3) está dada no próprio enunciado e é igual a 4. Logo:

(del g)/(del x) (1,1 , 1) = 4

Passo 3

Para (del g)/(del y) é simples: basta derivar a g em y !

(del g)/(del y) (x , y , z) = (del)/(del y) int_0^(x + y^2 + z^4) f (t) d t

Oooops! Não tão simples pelo visto! E agora? Como se faz para derivar uma integral toda loka?

Bem, neste ponto devemos nos lembrar muito bem da definição de integral, ou seja:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Lembra desta definição lá da infância do cálculo? Pois bem, você já deve ter ouvido 1000 vezes o professor falar que, se (d F)/(d x) (x) = f (x) , então a integral da f é dada por isso aí encima.

Isto facilita um pouco pra nós. Veja, agora podemos escrever

(del g)/(del y) (x , y , z) = (del)/(del y) (F (x + y^2 + z^4) - F (0))

Mas, como F (0) é só uma número contante, temos que

(del g)/(del y) (x , y , z) = (del)/(del y) (F (x + y^2 + z^4))

A expressão continua esquisita... temos a F (x + y^2 + z^4) sendo derivada em relação a algo que não é (x + y^2 + z^4) . Vamos mudar isso agora pela regra da cadeia!

(del)/(del y) (F (x + y^2 + z^4)) = (del)/(del (x + y^2 + z^4)) (F (x + y^2 + z^4)) (del)/(del y) (x + y^2 + z^4)

Mas perai! Se chamarmos w = x + y^2 + z^4 , o que temos aqui é nada mais do que (del F (w))/(del w) . Lembra do seu primeiro professor de cálculo? Seguramente ele estaria gritando pra você agora que isso aí é exatamente igual à f (w) , ou seja, f (x + y^2 + z^4) ! Ou, seja, descobrimos que

(del g)/(del y) (x , y , z) = f (x + y^2 + z^4) underset(= 2 y)(ubrace (del)/(del y) (x + y^2 + z^4))

Agora sim! Eu te pergunto: Quanto vale (del g)/(del y) no ponto (1,1 , 1) ? É só substituir:

(del g)/(del y) (1,1 , 1) = f (1 + 1^2 + 1^4) 2 = 2 f (3)

Mas f (3) está dada no próprio enunciado e é igual a 4. Logo:

(del g)/(del y) (1,1 , 1) = 8

Passo 4

Para (del g)/(del z) é simples: basta derivar a g em x !

(del g)/(del z) (x , y , z) = (del)/(del z) int_0^(x + y^2 + z^4) f (t) d t

Oooops! Não tão simples pelo visto! E agora? Como se faz para derivar uma integral toda loka?

Bem, neste ponto devemos nos lembrar muito bem da definição de integral, ou seja:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Lembra desta definição lá da infância do cálculo? Pois bem, você já deve ter ouvido 1000 vezes o professor falar que, se (d F)/(d x) (x) = f (x) , então a integral da f é dada por isso aí encima.

Isto facilita um pouco pra nós. Veja, agora podemos escrever

(del g)/(del z) (x , y , z) = (del)/(del z) (F (x + y^2 + z^4) - F (0))

Mas, como F (0) é só uma número contante, temos que

(del g)/(del z) (x , y , z) = (del)/(del z) (F (x + y^2 + z^4))

A expressão continua esquisita... temos a F (x + y^2 + z^4) sendo derivada em relação a algo que não é (x + y^2 + z^4) . Vamos mudar isso agora pela regra da cadeia!

(del)/(del z) (F (x + y^2 + z^4)) = (del)/(del (x + y^2 + z^4)) (F (x + y^2 + z^4)) (del)/(del z) (x + y^2 + z^4)

Mas perai! Se chamarmos w = x + y^2 + z^4 , o que temos aqui é nada mais do que (del F (w))/(del w) . Lembra do seu primeiro professor de cálculo? Seguramente ele estaria gritando pra você agora que isso aí é exatamente igual à f (w) , ou seja, f (x + y^2 + z^4) ! Ou, seja, descobrimos que

(del g)/(del z) (x , y , z) = f (x + y^2 + z^4) underset(= 4 z^3)(ubrace (del)/(del z) (x + y^2 + z^4))

Agora sim! Eu te pergunto: Quanto vale (del g)/(del z) no ponto (1,1 , 1) ? É só substituir:

(del g)/(del z) (1,1 , 1) = f (1 + 1^2 + 1^4) 4 = 4 f (3)

Mas f (3) está dada no próprio enunciado e é igual a 4. Logo:

(del g)/(del z) (1,1 , 1) = 16

Resposta

(del g)/(del x) (1,1 , 1) = 4

(del g)/(del y) (1,1 , 1) = 8

(del g)/(del z) (1,1 , 1) = 16

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