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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 28

Determine a diferencial da função.

T = v 1 + u v w

Passo 1

Fala ai galerinha. Partiu resolver uma questãozinha de derivada? Aqui temos:

T = v 1 + u v w

A questão nos pede a diferencial da função. E o que seria isso?

A função tem três variáveis T = f ( p , q , r ) , essa variação pode ser expressa como a soma das contribuições das variações individuais em cada variações.

d f = f x x , y , z d x + f y x , y , z d y + f z x , y , z d z

Para resolver está questão temos que calcular a derivada parcial de m u , v , w em relação a u , em relação a v e depois que relação a w .

Vamos começar!!!

Passo 2

Podemos calcular o diferencial de f ( x , y , z ) pela fórmula

d f = f x x , y , z d x + f y x , y , z d y + f z x , y , z d z

Como nossa função T não depende de x , y e z e sim de u , v e w , vamos ter algo na forma

d T = T u d u + T v d v + T w d w

Para calcular as derivadas parciais. Iremos utilizar a Regra do quociente.

u x v x ' = u x ' ∙ v x - u x ∙ v x ' v x 2  

Passo 3

Para T u

T d T d u = = v 1 + u v w

Para calcular a derivada da função em relação a u , vamos usar a Regra do quociente.

u x v x ' = u x ' ∙ v x - u x ∙ v x ' v x 2  

Temos

u = v

u ' = 0

v = 1 + u v w

v ' = v w

Substituindo

d T d u = u x ' ∙ v x - u x ∙ v x ' v x 2  

d T d u = 0 ∙ 1 + u v w - v ∙ v w 1 + u v w 2  

Simplificando

d T d u = 0 - v ² w 1 + u v w 2  

d T d u = - v ² w 1 + u v w 2  

Passo 4

Para T v

T d T d v = v 1 + u v w

Para calcular a derivada da função em relação a v , vamos usar a Regra do quociente.

u x v x ' = u x ' ∙ v x - u x ∙ v x ' v x 2  

Temos

u = v

u ' = 1

v = 1 + u v w

v ' = u w

Substituindo

d T d v = 1 ∙ 1 + u v w - v ∙ u w 1 + u v w 2  

d T d v = 1 + u v w - u v w 1 + u v w 2  

Simplificando

d T d v = 1 1 + u v w 2  

Passo 5

Para T w

d T d w T = v 1 + u v w

Para calcular a derivada da função em relação a v , vamos usar a Regra do quociente.

u x v x ' = u x ' ∙ v x - u x ∙ v x ' v x 2  

Temos

u = v

u ' = 0

v = 1 + u v w

v ' = u v

Substituindo

d T d w = 0 ∙ 1 + u v w - v ∙ u v 1 + u v w 2  

d T d w = - u v ² 1 + u v w 2

Passo 6

Substituindo na fórmula

d T = - v 2 w 1 + u v w 2 d u + 1 1 + u v w 2 d v - v 2 u 1 + u v w 2 d w

d T = - v 2 w d u + d v - v 2 u d w 1 + u v w 2

Resposta

d T = - v 2 w d u + d v - v 2 u d w 1 + u v w 2

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