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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 28

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D .

f x , y = x + y - x y , D é a região triangular fechada com vértices ( 0 ,   0 ) , ( 0 ,   2 ) e ( 4 ,   0 ) .

Passo 1

O problema pede para encontrarmos os extremos absolutos de f no conjunto D . Como f x , y = x + y - x y é contínua e D é fechado e limitado, o teorema do valor extremo garante que a função tem máximo e mínimo global nesse conjunto!

Os candidatos a extremos globais serão os pontos críticos de f no interior de D junto com os valores extremos de f na fronteira de D .

Neste caso, D é o triangulo desenhado a seguir:

E dessa forma a gente pode definir a fronteira três segmentos de reta

a : y = 2 - x 2 ,       x ∈ [ 0 ,   4 ]

b : x = 0 ,     y ∈ [ 0 ,   2 ]

c : y = 0 ,           x ∈ [ 0 ,   4 ]

Dessa forma a gente so precisa encontrar os pontos críticos dessa função que estejam dentro da fronteira, bem como analisar os demais pontos contidos nela!

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos precisamos encontras as derivadas f x e f y primeiramente, de forma que

f x = 1 - y

f y = 1 - x

Dessa forma, como os pontos críticos são pontos onde f x = f y = 0 , temos o seguinte

f x = 1 - y = 0

y = 1

E ainda

f y = 1 - x = 0

x = 1

Assim, o único ponto crítico de f é ( 1 ,   1 ) . Note que esse ponto está no interior de D . Ele é um dos candidatos a extremos absoluto!

Agora vamos olhar para a fronteira de D . Primeiro para ( a ) , em que y = 2 - x 2 . Substituindo essa relação na expressão para f ( x , y ) , obtemos uma função de uma variável apenas:

f x , y = x + y - x y

g x = f x ,   2 - x

g x = x + 2 - x 2 - x 2 - x 2

Ou ainda

g x = x 2 2 - 3 x 2 + 2

Sabemos que g está restrita ao intervalo x ∈ [ 0 ,   4 ] . Um possível candidato a extremo dessa função é obtido fazendo g ' x = 0 :

g ' x = x - 3 2 = 0

x = 3 2

Assim, substituindo esse valor de x na expressão de y que tínhamos definido, descobrimos um novo candidato a extremo de f : o ponto 3 2 , 5 4 .

Agora vamos repetir o processo para as demais partes da fronteira! Para a parte ( b ) temos que x = 0 , de modo que

g y = f 0 ,   y = y

Mas g ' y = 1 , de forma que não haverá pontos críticos aqui! E o mesmo vai ocorrer para a parte ( c ) !

Dessa forma, os nossos candidatos, incluindo os extremos das fronteiras (as pontas do triângulo), são

1 ,   1 ,     3 2 , 5 4 ,     0 ,   0 ,     4 ,   0           e           ( 0 ,   2 )

Passo 3

O que temos que fazer agora é avaliar o valor da função em cada um desses pontos, dessa forma a gente o maior valor que encontrarmos será o ponto de máximo e analogamente também teremos o ponto de mínimo!

Temos

f x , y = x + y - x y

De forma que

f 1 ,   1 = 1

f 3 2 , 5 4 = 7 8

f 0 ,   0 = 0

f 4 ,   0 = 4

f 0 ,   2 = 2

Desta forma, o mínimo absoluto ocorre em 0,0 enquanto o máximo ocorre em ( 4 ,   0 ) .

Resposta

Mínimo absoluto

f 0 ,   0 = 0

Máximo absoluto

f 4 ,   0 = 4

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