Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 8

8. Determine as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída de modo que sua area seja

Passo 1

Temos uma caixa aberta como indica a figura abaixo

Queremos que tenha o maior volume tendo uma área lateral fixa. Logo podemos montar as seguintes equações

Passo 2

O que faremos é calcular o gradiente dessas duas funções

Agora vamos montar o sistema de Lagrange

O truque é deixar as três primeiras equações com o lado direito igual

Com isso nosso sistema fica

Fazendo I – II obtemos

Entao

Esse tipo de questão vamos ter muitas respostas iguais a essa. Vamos achando condições pro sistema existir. Como faria nosso volume ser nulo, logo a resposta é

Agora vamos fazer II – III

Usando o que descobrimos da relação entre a e b, nossa equação se resume em

então podemos concluir que

Passo 3

Vamos usar tudo isso e aplicar na equação IV

Por isso

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

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