Mostre que a distância do ponto à reta de equação é dada por .
Passo 1
A distância de um ponto até um ponto é dada por:
Note que quando a distância for mínima, então será mínima. Então, o que queremos aqui é determinar o mínimo da função
sujeito a restrição . Assim, tomemos .
Passo 2
Para determinarmos o valor mínimo de , tomemos o sistema:
Vamos calcular e :
- .
Sendo assim,
Da primeira equação, temos que
Da segunda,
Colocando esses valores na terceira equação, segue que:
Passo 3
Dessa maneira, segue que
De modo
Portanto,
como queríamos provar.
Resposta
Demonstração.