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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 15

15. Considere a curva C interseção do cilindro de equação

x 2 12 + y 2 16 = 1

Com o plano

2 x + y   + z = 12

Determine as distancias máximas e mínimas dos pontos de C ao plano XY

Passo 1

Oii, nesse exercício estamos seguindo a mesma lógica dos últimos 2 exercícios. Temos duas restrições. Vamos precisar de 2 multiplicadores de Lagrange. Eles serão λ e θ . Vamos então calcular os gradientes das nossas regiões

g   :   x 2 12 + y 2 16 = 1

∇ g = x 6 , y 8 , 0

h   :   2 x + y   + z = 12

∇ h = 2,1 , 1

O plano xy tem uma equação. Podemos escrever esse plano como

f   :   z = 0

Dessa forma, o gradiente será

∇ f = 0,0 , 1

Passo 2

Vamos montar nosso sistema com os multiplicadores de Lagrange

x 6 λ + 2 θ = 0

y 8 λ + θ = 0

z +   θ = 0  

x 2 12 + y 2 16 = 1

2 x + y   + z = 12

Se pegarmos as equações I e II temos em mãos

x 6 λ = - 2 θ

y 8 λ = - θ

Se dividirmos um pelo outro temos então

8 x 6 y = 2

2 x = 3 y

Vamos usar isso na nossa equação V

2 x + y   + z = 12

3 y + y   + z = 12

z = 12 - 4 y

Conseguimos uma equação z. Que é justamente o que procuramos. Vamos agora achar y

Passo 3

Vamos agora descobrir y substituindo a relação

2 x = 3 y

x = 3 2 y

Na equação da elipse

x 2 12 + y 2 16 = 1

Ficamos então com

9 y 2 12 ⋅ 4 + y 2 16 = 1

y =   ± 2

Assim obtemos em z

z = 12 - 4 y

z = 20

Ou

z = 4

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

z = 20

Ou

z = 4

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