Enunciado

Determine as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito em um semicírculo de raio 3. (Veja a figura a seguir.)

Passo 1

Em essência, este se trata de um problema no qual as noções de cálculo utilizadas para resolvê-lo são beeem tranquilas galera, se liga! Considerando apenas a parte positiva dos eixos, uma vez que o retângulo apresenta dimensões simétricas em relação ao eixo y , isto é, o eixo y divide o retângulo em duas partes iguais, temos que a equação que define a área do retângulo inscrito é:

A = 2 x . y

Aqui vale ressaltar que x se trata do tamanho da base do retângulo, tudo bem? Como x é apenas metade do tamanho da base, então o tamanho inteiro é 2 x ! Mas o que seria esse y ? Esse termo é a função que está delimitando o retângulo superiormente, galera! A função que delimita esse retângulo é a equação da circunferência, dada por:

x 2 + y 2 = 3 ²

∴ y = 9 - x ²

Substituindo na equação da área, teremos:

A = 2 x . 9 - x ² ,   0 ≤ x ≤ 3

Passo 2

O conceito necessário do cálculo que foi comentado lá no início se trata da noção de máximos e mínimos, pessoal. Para encontrar máximos e mínimos de uma função qualquer, igualamos a derivada da função a zero e assim descobrimos seus pontos críticos! Sim, é só isso! Derivando a função de área que encontramos e igualando a zero, teremos:

A ' = u ' . v + u . v ' = 0

Sim, teremos que aplicar a regra do produto. Nesse caso, temos:

u = 2 x   ⇒ u ' = 2

v = 9 - x ² ⇒ v ' = 1 2 . 9 - x 2 - 1 2 . - 2 x = - x 9 - x ²

Substituindo na regra do produto:

A ' = 2 . 9 - x ² - 2 x . x 9 - x 2 = 0

A ' = 2 . 9 - x 2 - 2 x ² 9 - x ² = 18 - 4 x ² 9 - x ² = 0

18 - 4 x 2 = 0 ⇒ x 2 = 18 4

∴ x = ± 3 2 2

Mas como o intervalo que estamos adotando é apenas positivo, então:

x = + 3 2 2

Passo 3

Lembra que no passo 1 dissemos que x é metade da base do retângulo? Sendo assim, a base inteira do retângulo é:

3 2 2 + 3 2 2 = 3 2   u . c

Agora que encontramos o valor de x , basta substituirmos lá na função y para descobrirmos quanto vale a altura do retângulo, olha só:

y = 9 - 3 2 2 2

y = 9 - 9 2  

∴ y = 3 2 2   u . c

Sendo assim, a base do retângulo é 3 2   u . c e a altura do retângulo é 3 2 2   u . c .

Resposta

b a s e :   3 2   u . c

a l t u r a :   3 2 2   u . c

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