Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 23
Ache uma equação da reta tangente à curva com inclinação mínima.
Passo 1
Queremos uma reta de equação da forma , tal que onde é mínimo, tangente à curva . Seja , vale que:
Vamos calcular as raízes de por meio do delta, uma vez que se trata de uma equação do segundao grau:
Como ,então para qualquer x real. Isso indica que é crescente em R e para todo real.
Passo 2
Como queremos o mínimo, devemos calcular :
Analisando o sinal de :
Logo, vemos que 1 é ponto de mínimo local de e é valor de mínimo local de . Repare que tal valor também se refere ao a mínimo. Portanto, .
Passo 3
Desse modo, vamos agora escrever a equação da reta tangente
Sabemos que , e . Assim,
Por fim, temos que:
Resposta
A reta tangente com inclinação mínima:
Exercícios de Livros Relacionados
Duas partículas entram em movimento ao mesmo tempo. Uma move-se segundo uma reta horizontal e sua equação de movimento é x = t 2 - 2 t , onde xcm é a distância orientada da partícula desde a origem em
Ache a distância mais curta entre o ponto P ( 0,4 ) e o ponto na curva x 2 - y 2 = 16 , e ache o ponto na curva mais próximo de P .
Uma tenda deve ter a forma de um cone. Ache a razão entre as medidas do raio e da altura da tenda com um dado volume que requer o mínimo de material.
Uma escada deverá passar por cima de um muro de 27 8m de altura e alcançar uma parede que está a 8m depois do muro. Ache o menor comprimento que a escada a ser usada pode ter.
Uma escada deverá passar por cima de um muro de hm de altura e alcançar uma parede que está a wm depois do muro. Ache o menor comprimento que a escada a ser usada pode ter.