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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 17

Resolva o problema de valor inicial:

(x + 1) (d y)/(d x) + 2 y = x , x > - 1 , y (0) = 1

Passo 1

Vamos começar dividindo tudo por ( x + 1 ) ...

y^' + (2 y)/(x + 1) = (x)/(x + 1)

Agora vamos ao fator integrante v (y) = e^(int P (x)) ...

O P ( x ) é (2)/(x + 1) certo? Então vamos integrar isso...

int (2)/(x + 1) = 2 ln (x + 1) + C

O fator integrante então é:

v (x) = e^(2 ln (x + 1)) = (x + 1)^2

Passo 2

Então agora nós montamos a equação, da forma:

y = (1)/(v (x)) int v (x) Q (x) d x

A nossa fica:

y = (1)/((x + 1)^2) int (x + 1)^2 (x)/(x + 1) d x

y = (1)/((x + 1)^2) int (x + 1) x d x

y = (1)/((x + 1)^2) int x^2 + x d x

y = (1)/((x + 1)^2) ((x^3)/(3) + (x^2)/(2) + C)

Usamos o valor inicial para determinarmos a constante...

Passo 3

Como y (0) = 1 , substituímos na equação encontrada e achamos o valor de C :

y (0) = (1)/((0 + 1)^2) ((0^3)/(3) + (0^2)/(2) + C) = 1

C = 1

Então a solução da equação é:

y = (1)/((x + 1)^2) ((x^3)/(3) + (x^2)/(2) + 1)

Prontinho😊

Resposta

y = (1)/((x + 1)^2) + (x^3)/(3) + (x^2)/(2) + 1

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