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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 27

Para a lata do exemplo 4, suponha que o custo do material da tampa e da base seja o dobro do custo dos lados. Ache a altura e o raio da base para que o custo do material seja mínimo.

Passo 1

Seja r o raio da base do cilindro, h a altura do cilindro e S   a área da superfície total do cilindro. A Área da superfície lateral é 2 π r h   c m ² , a área da tampa é π r 2 c m ² e a área da base é π r 2 c m 2 . Logo:

S = 2 π r h + 2 π r ²

Se V for o volume de um cilindro circular reto, entao V = π r ² h . Assim,

16 π = π r 2 h h = 16 π π r ² = 16 r ²

Seja a o custo por metro quadrado do material. Se o material dos lados custa a , o material da base custará 2 a . Logo, o custo do material para fazer a lata será:

C = a * 2 π h r + 2 a * 2 π r 2

Passo 2

Substituindo a expressão para h na expressão doo custo do cilindro temos:

C = a 2 π r 16 r 2 + 2 a * 2 π r 2 C = a 32 π r + 2 a * 2 π r ²

Derivando a expressão e igualando a zero, temos:

C ' r = - a 32 π r 2 + 2 a * 4 π r = 0 a 32 π r 2 = 2 a * 4 π r a 32 π = 2 a * 4 π r 3 r 3 = a 32 π 2 a * 4 π r 3 = 32 8 r 3 = 4 r = 4 3 = 4 1 / 3   c m

Passo 3

Substituindo o valor do raio na expressão da altura, temos:

h = 16 r 2 h = 16 ( 4 1 / 3 ) 2 h = 16 ( 4 2 3 ) * 4 1 3 4 1 3   h = 16 * 4 1 3 4 h = 4 4 3   c m

Resposta

As dimensões da lata que irão fazer o custo ser mínimo são:

h = 4 4 3   c m   e   r = 4 3   c m

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