Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.5 - Ex. 78
Determine a distância entre as retas reversas com equações paramétricas
e
Passo 1
Precisamos calcular a distância entre essas duas retas. Vamos assumir que existe um plano que contém a reta de equação e um plano que contém a reta de equação . A distância entre as retas vai ser a distância entre os planos que contém essas duas retas. Lembrando que a distância entre dois planos pode ser calculada escolhendo um ponto arbitrário em um dos planos e calculando a distância até o outro.
Vamos primeiro determinar esse ponto.
Vou chamar a primeira reta de :
Fazendo (por simplicidade) na reta:
O ponto é .
Passo 2
O próximo passo é determinar a equação do plano que contém a outra reta.
Lembram que para determinar a equação do plano é preciso um ponto que pertence a ele e um vetor normal ? A equação do plano é:
Vou chamar a segunda reta de
Um ponto que pertence ao plano pode ser dado fazendo (de novo por simplicidade) na equação paramétrica da reta :
Assim o ponto pertencente a esse plano é
Dois vetores que podem formar esse plano são os vetores diretores das retas e fazendo o produto vetorial entre eles podemos ter um vetor normal ao plano!
Os vetores diretores são: e e o produto vetorial entre eles é:
E a equação do plano vai ser:
Pronto! Agora é só calcular a distância desse plano que acabamos de calcular ao ponto lá do passo !
Passo 3
Lembrando que a fórmula da distância do ponto ao plano de equação é:
E que .e a equação do plano é , a distância fica:
Então a distância entre as duas retas é .
Beleza?
Vamos pra próxima?