Determine o domínio e a imagem para a função abaixo.

Não existe nenhuma metodologia bem definida para identificarmos quais são as funções e . Neste momento, precisamos utilizar o nosso feeling, isto é, o sentimento. Pode soar estranho, mas com o decorrer dos seus estudos, vocês vão adquiri-lo. Uma única dica é tentar identificar a função mais interna, que neste caso é a . Analisando a nossa , podemos ver que:

Consequentemente, se fazemos , vamos obter a nossa que é:

Agora que obtivemos as funções e , vamos identificar o domínio e a imagem de cada uma delas. Como a nossa função é uma função exponencial, o seu domínio é todos os reais e a sua imagem é o intervalo ).

Já a função é uma função racional. Ela só não existe nos pontos tais que o denominador é igual a zero. Isto é:

Portanto, , e a sua imagem varia de

Pela definição descrita no Passo 1, como não pertence a imagem da nossa , o domínio de será o domínio da função , isto é:

A determinação da imagem é um procedimento mais complicado. Precisamos analisar calmamente o que acontece com a nossa função. O domínio de será a imagem de , portanto, vamos analisar o que acontece quando substituímos alguns valores em . Quando , teremos:

É importante ressaltar que nunca será , visto que nunca será igual a . Já quando , teremos:

Quando , teremos:

Se continuarmos aumentando o valor de , perceberemos que . Portanto, a imagem de será o conjunto