Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.

f(x) = (x^3 + 3x^2 + x + 3) / (x + 3)

Passo 1

Observe que por f se tratar de um quociente, é preciso garantir que seu denominador seja diferente de zero. Assim

x + 3 ≠ 0 ⇒

x ≠ - 3

Portanto o domínio de f é

D f = { x ∈ R / x ≠ - 3 } = ( - ∞ , - 3 ) ⋃ ( - 3 , + ∞ )

Passo 2

Como f é uma divisão de polinômios a sua imagem será todos o números reais, ou seja, I m = R .

Passo 3

Observe que f é a divisão de um polinômio do terceiro grau por um do primeiro grau. Assim a função f é do segundo grau e seu gráfico será uma parábola. Como o coeficiente de x 3 do numerador é positivo e o coeficiente de x do denominador também é positivo, temos que a parábola será côncava para cima.

Resposta

Portanto, o domínio de f é D f = { x ∈ R / x ≠ - 3 } = ( - ∞ , - 3 ) ⋃ ( - 3 , + ∞ ) , a imagem é I m = R e o gráfico será dado por

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