Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.

F(x) = (x^4 + x^3 - 9x^2 - 3x + 18) / (x^2 + x - 6)

Passo 1

Observe que por F se tratar de um quociente, é preciso garantir que seu denominador seja diferente de zero. Vamos determinar quando x 2 + x - 6 = 0 . Assim

x 2 + x - 6 = 0 ⇒

x = - 1 ± 1 2 - 4 1 - 6 2 1 ⇒

x = - 1 ± 1 + 24 2 ⇒

x = - 1 ± 25 2 ⇒

x = - 1 ± 5 2

Logo,

x = - 1 - 5 2 ⇒

x = - 6 2 ⇒

x = - 3

E também

x = - 1 + 5 2 ⇒

x = 4 2 ⇒

x = 2

Portanto o domínio de F é

D F = { x ∈ R / x ≠ - 3   e   x ≠ 2 } = ( - ∞ , - 3 ) ⋃ ( - 3 ,   2 ) ⋃ ( 2 , + ∞ )

Passo 2

Como F é uma divisão de polinômios a sua imagem será todos o números reais, ou seja, I m = R .

Passo 3

Observe que F é a divisão de um polinômio do quarto grau por um do segundo grau. Assim a função f é do segundo grau e seu gráfico será uma parábola. Como o coeficiente de x 4 do numerador é positivo e o coeficiente de x 2 do denominador também é positivo, temos que a parábola será côncava para cima.

Resposta

Portanto, o domínio de F é D F = { x ∈ R / x ≠ - 3   e   x ≠ 2 } = ( - ∞ , - 3 ) ⋃ ( - 3 ,   2 ) ⋃ ( 2 , + ∞ )

, + ∞ ) , a imagem é I m = R e o gráfico será dado por

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