Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.

g(x) = (x^3 + 3x^2 - 4x - 12) / (x^2 + x - 6)

Passo 1

Podemos definir o domínio como D f = x ∈ R y = f x ∈ R , ou seja, os valores de x que fazem a função existir. Já a imagem é formada pelos valores de y que pertencem à função, ou seja, I m f = y ∈ R y = f x .

Passo 2

x 2 + x - 6 = x - 2 ⋅ x + 3

Entao, x = 2 e x = - 3 causam divisão por zero, logo

D = x ∈ R x ≠ - 3 ∧ x ≠ 2 = - ∞ ; - 3 ∪ - 3 ; 2 ∪ 2 ; + ∞

Passo 3

y = g x

y = x 3 + 3 x 2 - 4 x - 12 x 2 + x - 6

y = x ⋅ x 2 + 3 x - 4 - 12 x 2 + x - 6

y = x ⋅ x 2 + x - 6 + 2 x + 2 - 12 x 2 + x - 6

y = x ⋅ x 2 + x - 6 + 2 x 2 + 2 x - 12 x 2 + x - 6

y = x ⋅ x 2 + x - 6 + 2 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6

y = x 2 + x - 6 ⋅ x + 2 x 2 + x - 6

y = x + 2 ∧ x ≠ 2 ∧ x ≠ - 3

Como x não pode ser igual a 2 nem a - 3 , y não assume os valores que a reta y = x + 2 assumiria para esses valores de x, então

y ≠ 2 + 2 = 4

E

y ≠ - 3 + 2 = - 1

Assim,

I m = y ∈ R y ≠ - 1 ∧ y ≠ 4 = - ∞ ; - 1 ∪ - 1 ; 4 ∪ 4 ; + ∞

Passo 4

E para construir o gráfico, basta fazer a reta y = x + 2 e tirar os pontos 2 ,   4 e - 3 ,   - 1 .

Resposta

D = x ∈ R x ≠ - 3 ∧ x ≠ 2 = - ∞ ; - 3 ∪ - 3 ; 2 ∪ 2 ; + ∞

I m = y ∈ R y ≠ - 1 ∧ y ≠ 4 = - ∞ ; - 1 ∪ - 1 ; 4 ∪ 4 ; + ∞

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