Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.

g x = x 3 + 3 x 2 - 4 x - 12 x 2 + x - 6

Passo 1

Podemos definir o domínio como D f = x ∈ R y = f x ∈ R , ou seja, os valores de x que fazem a função existir. Já a imagem é formada pelos valores de y que pertencem à função, ou seja, I m f = y ∈ R y = f x .

Passo 2

x 2 + x - 6 = x - 2 ⋅ x + 3

Entao, x = 2 e x = - 3 causam divisão por zero, logo

D = x ∈ R x ≠ - 3 ∧ x ≠ 2 = - ∞ ; - 3 ∪ - 3 ; 2 ∪ 2 ; + ∞

Passo 3

y = g x

y = x 3 + 3 x 2 - 4 x - 12 x 2 + x - 6

y = x ⋅ x 2 + 3 x - 4 - 12 x 2 + x - 6

y = x ⋅ x 2 + x - 6 + 2 x + 2 - 12 x 2 + x - 6

y = x ⋅ x 2 + x - 6 + 2 x 2 + 2 x - 12 x 2 + x - 6

y = x ⋅ x 2 + x - 6 + 2 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6

y = x 2 + x - 6 ⋅ x + 2 x 2 + x - 6

y = x + 2 ∧ x ≠ 2 ∧ x ≠ - 3

Como x não pode ser igual a 2 nem a - 3 , y não assume os valores que a reta y = x + 2 assumiria para esses valores de x, então

y ≠ 2 + 2 = 4

E

y ≠ - 3 + 2 = - 1

Assim,

I m = y ∈ R y ≠ - 1 ∧ y ≠ 4 = - ∞ ; - 1 ∪ - 1 ; 4 ∪ 4 ; + ∞

Passo 4

E para construir o gráfico, basta fazer a reta y = x + 2 e tirar os pontos 2 ,   4 e - 3 ,   - 1 .

Resposta

D = x ∈ R x ≠ - 3 ∧ x ≠ 2 = - ∞ ; - 3 ∪ - 3 ; 2 ∪ 2 ; + ∞

I m = y ∈ R y ≠ - 1 ∧ y ≠ 4 = - ∞ ; - 1 ∪ - 1 ; 4 ∪ 4 ; + ∞

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Para cada item f + g , f - g , f * g , (f)/(g) , f @ g , g @ f , k * f , onde k é uma constante.f (x) = sqrt(x + 1) , g (x) = x - 2
Sabendo que f = g ∘ h , nos itens a ,c ,e( d ) encontre a função h , e na ( b ) a função g . f x = x 2 + 1 ,g x = x + 1
Para cada item f + g , f - g , f * g , (f)/(g) , f @ g , g @ f , k * f , onde k é uma constante.f (x) = 2 x , g (x) = x^2 + 1
Para cada item f + g , f - g , f * g , (f)/(g) , f @ g , g @ f , k * f , onde k é uma constante.f (x) = (x)/(1 + x^2) , g (x) = (1)/(x)
27.Se f ( x ) = x^2 , encontre duas funções g para os quais ( f o g ) = 4 x^2 - 12 x + 9 .