Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.

g x = x 3 + 3 x 2 - 4 x - 12 x 2 + x - 6

Passo 1

Podemos definir o domínio como D f = x ∈ R y = f x ∈ R , ou seja, os valores de x que fazem a função existir. Já a imagem é formada pelos valores de y que pertencem à função, ou seja, I m f = y ∈ R y = f x .

Passo 2

x 2 + x - 6 = x - 2 ⋅ x + 3

Entao, x = 2 e x = - 3 causam divisão por zero, logo

D = x ∈ R x ≠ - 3 ∧ x ≠ 2 = - ∞ ; - 3 ∪ - 3 ; 2 ∪ 2 ; + ∞

Passo 3

y = g x

y = x 3 + 3 x 2 - 4 x - 12 x 2 + x - 6

y = x ⋅ x 2 + 3 x - 4 - 12 x 2 + x - 6

y = x ⋅ x 2 + x - 6 + 2 x + 2 - 12 x 2 + x - 6

y = x ⋅ x 2 + x - 6 + 2 x 2 + 2 x - 12 x 2 + x - 6

y = x ⋅ x 2 + x - 6 + 2 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6

y = x 2 + x - 6 ⋅ x + 2 x 2 + x - 6

y = x + 2 ∧ x ≠ 2 ∧ x ≠ - 3

Como x não pode ser igual a 2 nem a - 3 , y não assume os valores que a reta y = x + 2 assumiria para esses valores de x, então

y ≠ 2 + 2 = 4

E

y ≠ - 3 + 2 = - 1

Assim,

I m = y ∈ R y ≠ - 1 ∧ y ≠ 4 = - ∞ ; - 1 ∪ - 1 ; 4 ∪ 4 ; + ∞

Passo 4

E para construir o gráfico, basta fazer a reta y = x + 2 e tirar os pontos 2 ,   4 e - 3 ,   - 1 .

Resposta

D = x ∈ R x ≠ - 3 ∧ x ≠ 2 = - ∞ ; - 3 ∪ - 3 ; 2 ∪ 2 ; + ∞

I m = y ∈ R y ≠ - 1 ∧ y ≠ 4 = - ∞ ; - 1 ∪ - 1 ; 4 ∪ 4 ; + ∞

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26.A função g é definida por g ( x ) = x 2 . Defina uma função f tal que ( f o g ) ( x ) = x , para x ≥ 0 e uma função h , talque ( h o g ) ( x ) = x , para x ≤ 0 .
24.Sejam f ( x ) = 5 x,x ≤ 0 - x ,0x ≤ 8 x ,x8 e g ( x ) = x 3 . Calcular f o g .
28.Se f ( x ) = x 2 - 2 x + 1 , encontre uma função g ( x ) para os quais ( f / g ) ( x ) = x - 1 .
29.Ddas as funções f ( x ) = x 2 - 1 e g ( x ) = 2 x - 1 : ( a ) Determine o domínio e conjunto imagem de f ( x )
23. Sejam f ( x ) = x - 4 e g ( x ) = 1 2 x + 1 , x ≥ 3 . Calcular f o g . Dê o domínio e o conjunto imagem de f ( x ) , g ( x ) e f o g ( x ) .