Para cada item f + g, f - g, f * g, f / g, f ∘ g, g ∘ f, k * f onde k é uma constante.

f(x) = x / (1 + x^2), g(x) = 1 / x

Passo 1

Vamos para as primeiras operações:

  • f + g = (x)/(1 + x^2) + (1)/(x) = (x^2 + 1 + x^2)/(x ( 1 + x^2 )) = (2 x^2 + 1)/(x + x^3)
  • f - g = (x)/(1 + x^2) - (1)/(x) = (x^2 - 1 - x^2)/(x (1 + x^2)) = - (1)/(x + x^3)
  • f * g = (x)/(1 + x^2) * (1)/(x) = (1)/(1 + x^2)
  • (f)/(g) = (((x)/(1 + x^2))/((1)/(x))) = (x)/(1 + x^2) * x = (x^2)/(1 + x^2)

Passo 2

Agora vamos para as compostas:

  • f @ g = ((1)/(x))/(1 + ((1)/(x))^2) = ((1)/(x))/(1 + (1)/(x^2)) = (((1)/(x))/(x^2 + 1))/(x^2) = (1)/(x) * (x^2)/(x^2 + 1) = (x)/(x^2 + 1) , x != 0
  • g @ f = (1)/((x)/(1 + x^2)) = (1 + x^2)/(x)

Só falta a da constante agora, que é:

  • k ((x)/(1 + x^2)) = (k x)/(1 + x^2)

Prontinho😊

Resposta

f + g = (2 x^2 + 1)/(x + x^3)

f - g = - (1)/(x + x^3)

f * g = (1)/(1 + x^2)

(f)/(g) = (x^2)/(1 + x^2)

f @ g = (x)/(x^2 + 1)

g @ f = (1 + x^2)/(x)

k * f = (k x)/(1 + x^2)

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