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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 2.10 - Ex. 27

27.Se f ( x ) = x^2 , encontre duas funções g para os quais ( f o g ) = 4 x^2 - 12 x + 9 .

Passo 1

Vamos fazer a composição e teremos que fatorar 4 x^2 - 12 x + 9 , sempre que tivemos fatorar uma função do 2 grau usaremos a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Vamos para as continhas, então:

( f o g ) = f ( g ( x ) ) = g^2 ( x )

g^2 ( x ) = 4 x^2 - 12 x + 9

Vamos fatorar a função 4 x^2 - 12 x + 9 , para isso acharemos as raízes e colocaremos na fórmula canônica:

4 x^2 - 12 x + 9 = 4 (x - r 1) ( x - r 2 )

Em que r 1 e r 2 são as raízes da função!

4 x^2 - 12 x + 9

a = 4 b = - 12 c = 9

Delta = b^2 - 4 a c = (- 12)^2 - 4 (4) (9) = 144 - 144 = 0

Então as raízes são iguais!

r 1 = r 2 = (- b)/(2 a) = (12)/(8) = (3)/(2)

Voltando para a forma canônica, temos:

4 x^2 - 12 x + 9 = 4 (x - (3)/(2)) (x - (3)/(2))

4 x^2 - 12 x + 9 = 4 (x - (3)/(2))^2

Passo 3

Com a função do 2 grau fatorada, temos:

g^2 ( x ) = 4 x^2 - 12 x + 9

g^2 ( x ) = 4 (x - (3)/(2))^2

g ( x ) = sqrt(4 (x - (3)/(2))^2)

g ( x ) = |2 (x - (3)/(2))|

g ( x ) = 2 (x - (3)/(2)) = 2 x - 3

Ou

g ( x ) = 2 ( - 1 ) (x - (3)/(2)) = - 2 x + 3

Resposta

g ( x ) = 2 x - 3

Ou

g ( x ) = - 2 x + 3

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