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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.5 - Ex. 28

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico.

G x = x 2 + 3 x - 4 x 2 - 5 x + 6 x 2 - 3 x + 2 x - 3

Passo 1

Fazer o gráfico desse monstrinho seria uma sessão de tortura! Vamos tentar fatorar os polinômios e simplificar alguma coisa pra facilitar a nossa vida. Depois de simplificar, fazemos o gráfico e a partir do gráfico definimos o domínio e a imagem da função G .

Passo 2

Vamos começar achando as raízes daquela função quadrática do denominador:

x 2 - 3 x + 2 = 0

Por bhaskara:

x 1,2 = - - 3 ± - 3 2 - 4 ∙ 1 ∙ 2 2 1

Daí ficamos com:

x 1,2 = 3 ± 1 2

E nossas duas raízes são:

x 1 = 2

E

x 2 = 1

E daí podemos reescrever o nosso polinômio assim:

x 2 - 3 x + 2 = x - 2 x - 1

Na nossa função original, ficamos com:

G x = x 2 + 3 x - 4 x 2 - 5 x + 6 x - 2 x - 1 x - 3

Passo 3

Vamos agora fatorar o x 2 + 3 x - 4 . Por bhaskara:

x 1,2 = - 3 ± 3 2 - 4 ∙ 1 ∙ - 4 2 1

Daí:

x 1,2 = - 3 ± 5 2

E temos as nossas duas raízes:

x 1 = 1

E

x 2 = - 4

E podemos reescrever a equação do 2º grau que tínhamos como:

x 2 + 3 x - 4 = x - 1 x + 4

Substituindo na nossa função G :

G x = x - 1 x + 4 x 2 - 5 x + 6 x - 2 x - 1 x - 3

Já podemos dar uma simplificada!

G x = x + 4 x 2 - 5 x + 6 x - 2 x - 3

Passo 4

Agora fatorando o outro polinômio do numerador do mesmo jeito:

x 2 - 5 x + 6 = 0

Por bhaskara:

x 1,2 = - - 5 ± - 5 2 - 4 ∙ 1 ∙ 6 2 1

Daí:

x 1,2 = 5 ± 1 2

Temos as nossas duas raízes da equação do 2º grau:

x 1 = 3

E

x 2 = 2

Fatorado com sucesso!

x 2 - 5 x + 6 = x - 3 x - 2

Agora substituindo na equação:

G x = x + 4 ( x - 3 ) ( x - 2 ) x - 2 x - 3

E podemos então simplificar de vez e nossa livrar dessa equação complicada e ficar somente com uma reta!

G x = x + 4

Passo 5

O gráfico vai ser o de uma reta com inclinação 1 e fazendo x = 0 vemos que o ponto 0 ,   4 pertence à reta. Ficamos com o gráfico:

Passo 6

Uma reta está definida para qualquer valor de x e também pode retornar qualquer valor em y então tanto nosso domínio quanto a nossa imagem será R . Ou seja: - ∞ ,   + ∞

Resposta

Domínio: - ∞ ,   + ∞

Imagem: - ∞ ,   + ∞

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