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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 9

Sendo y = (2)/(x - 1) ache a) Delta y ; b) d y ; c) Delta y - d y .

Passo 1

a) Seja f (x) = (2)/(x - 1) , para achar Delta y (variação do y ) , vamos utilizar a fórmula:

Delta y = f (x + Delta x) - f ( x )

Delta y = (2)/(( x + Delta x ) - 1) - (2)/(x - 1)

= (2 (x - 1) - 2 (x + Delta x) - 2 ( - 1 ))/(( x + Delta x - 1 ) ( x - 1 ))

= (2 x - 2 - 2 x - 2 Delta x + 2)/(( x + Delta x - 1 ) ( x - 1 ))

Delta y = (- 2 Delta x)/(( x + Delta x - 1 ) ( x - 1 ))

Passo 2

b) Para achar d y , vamos começar lembrando que se a função f for definida por y = f ( x ) , então a diferencial de y , denotada por d y será dada por d y = f ' (x) Delta x onde x está no domínio de f ' e Delta x é um incremento arbitrário de x . Então temos que:

f (x) = (2)/(x - 1) = 2 (x - 1)^(- 1) -> f ' ( x ) = - 2 (x - 1)^(- 1 - 1) = - (2)/((x - 1)^2)

Utilizando a definição acima, ficamos com:

d y = (- (2)/((x - 1)^2)) Delta x

Passo 3

c) Agora vamos usar os resultados: Delta y = (- 2 Delta x)/(( x + Delta x - 1 ) ( x - 1 )) e d y = (- (2)/((x - 1)^2)) Delta x .

Delta y - d y = (- 2 Delta x)/((x + Delta x - 1) (x - 1)) - (- (2)/((x - 1)^2)) Delta x

Delta y - d y = (- 2 Delta x)/((x + Delta x - 1) (x - 1)) + (2 Delta x)/((x - 1)^2)

Agora vamos deixar no mesmo denominador.

Delta y - d y = (- 2 Delta x (x - 1) + 2 Delta x (x + Delta x - 1))/((x + Delta x - 1) (x - 1)^2)

= (- 2 x Delta x + 2 Delta x + 2 x Delta x + 2 (Delta x)^2 - 2 Delta x)/((x + Delta x - 1) (x - 1)^2)

= (2 (Delta x)^2)/((x + Delta x - 1) (x - 1)^2)

É o resultado procurado.

Resposta

  1. Delta y = (- 2 Delta x)/(( x + Delta x - 1 ) ( x - 1 ))
  2. d y = (- (2)/((x - 1)^2)) Delta x
  3. Delta y - d y = (2 (Delta x)^2)/((x + Delta x - 1) (x - 1)^2)
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