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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 20

Ache d y para:

y = (3 x)/(x^2 + 2)

Passo 1

Questão bem direta, pessoal. Vamos precisar derivar essa função, apenas isso. Lembrando que d y = y ' d x , ok?

Analisando a função y , verificamos que é um quociente de funções polinomiais, então vamos ter que usar a regra do quociente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' ( x ) g (x) - f (x) g^' (x))/([g (x)]^2)

f (x) = 3 x e g (x) = x^2 + 2 .

Passo 2

Vamos substituir as funções na fórmula.

((3 x)/(x^2 + 1))^' = ((3 x) ' (x^2 + 2) - ( 3 x ) ( x^2 + 2 ) ')/([x^2 + 2]^2)

Sabemos que (3 x) ' = 3 e (x^2 + 2) ' = 2 x , então:

y ' = (3 (x^2 + 2) - ( 3 x ) ( 2 x ))/([x^2 + 2]^2) = (3 x^2 + 6 - 6 x^2)/([x^2 + 2]^2)

y ' = (6 - 3 x^2)/([x^2 + 2]^2)

Passo 3

Vamos substituir y ' em d y = y ' d x .

d y = ((6 - 3 x^2)/([x^2 + 2]^2)) d x

Prontinho.

Resposta

d y = ((6 - 3 x^2)/([x^2 + 2]^2)) d x

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