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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.2 - Ex. 54

Encontre

(f (x + h) - f ( x ))/(h)

E

(f (w) - f ( x ))/(w - x)

E simplifique tanto quanto possível.

f (x) = x^2 + 6 x

Passo 1

Vamos fazer por partes. Primeiro, vamos achar:

(f (x + h) - f ( x ))/(h)

Onde f (x) = x^2 + 6 x .

Então, calculando f ( x + h ) :

f (x + h) = (x + h)^2 + 6 ( x + h )

(x + h)^2 é um produto notável que é igual a x^2 + 2 x h + h^2 , mas vou resolver com mais calma aqui:

f (x + h) = (x + h) (x + h) + 6 ( x + h )

Fazendo a multiplicação:

f (x + h) = ( x^2 + x h + x h + h^2 ) + 6 ( x + h )

f (x + h) = x^2 + 2 x h + h^2 + 6 x + 6 h

Substituindo na expressão que queremos:

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = (x^2 + 2 x h + h^2 + 6 x + 6 h - x^2 - 6 x)/(h)

Arrumando esse numerador:

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = (2 x h + h^2 + 6 h)/(h)

Podemos colocar h em evidência:

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = (h ( 2 x + h + 6 ))/(h)

E simplificar o h :

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = 2 x + h + 6

Prontinho! Temos mais nada a fazer aqui.

Passo 2

Agora, vamos achar:

(f (w) - f ( x ))/(w - x)

Vamos achar f (w) :

f (w) = w^2 + 6 w

Substituindo:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (w^2 + 6 w - x^2 - 6 x)/(w - x)

Arrumando o numerador:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (w^2 - x^2 + 6 w - 6 x)/(w - x)

Podemos colocar o 6 em evidência:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (w^2 - x^2 + 6 ( w - x ))/(w - x)

Opa, podemos abrir o seguinte produto notável w^2 - x^2 = ( w - x ) ( w + x ) :

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (( w - x ) ( w + x ) + 6 ( w - x ))/(w - x)

Colocando ( w - x ) em evidência:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (( w - x ) ( w + x + 6 ))/(w - x)

Assim, simplificamos o w - x :

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = w + x + 6

Só isso!

Resposta

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = 2 x + h + 6

E

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = w + x + 6

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