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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.2 - Ex. 53

Encontre

(f (x + h) - f ( x ))/(h)

E

(f (w) - f ( x ))/(w - x)

E simplifique tanto quanto possível.

f (x) = 3 x^2 - 5

Passo 1

Vamos fazer por partes. Primeiro, vamos achar:

(f (x + h) - f ( x ))/(h)

Onde f (x) = 3 x^2 - 5 .

Então, calculando f ( x + h ) :

f (x + h) = 3 (x + h)^2 - 5

(x + h)^2 é um produto notável que é igual a x^2 + 2 x h + h^2 , mas vou resolver com mais calma aqui:

f (x + h) = 3 (x + h) (x + h) - 5

Fazendo a multiplicação:

f (x + h) = 3 ( x^2 + x h + x h + h^2 ) - 5

f (x + h) = 3 (x^2 + 2 x h + h^2) - 5

f (x + h) = 3 x^2 + 6 x h + 3 h^2 - 5

Substituindo na expressão que queremos:

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = (3 x^2 + 6 x h + 3 h^2 - 5 - 3 x^2 + 5)/(h)

Arrumando esse numerador:

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = (6 x h + 3 h^2)/(h)

Podemos colocar h em evidência:

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = (h ( 6 x + 3 h ))/(h)

E simplificar o h :

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = 6 x + 3 h

Prontinho! Temos mais nada a fazer aqui.

Passo 2

Agora, vamos achar:

(f (w) - f ( x ))/(w - x)

Vamos achar f (w) :

f (w) = 3 w^2 - 5

Substituindo:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (3 w^2 - 5 - 3 x^2 + 5)/(w - x)

Arrumando o numerador:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (3 w^2 - 3 x^2)/(w - x)

Podemos colocar o 3 em evidência:

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (3 ( w^2 - x^2 ))/(w - x)

Opa, podemos abrir o seguinte produto notável w^2 - x^2 = ( w - x ) ( w + x ) :

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = (3 ( w - x ) ( w + x ))/(w - x)

Assim, simplificamos o w - x :

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = 3 ( w + x )

Só isso!

Resposta

(f (x + h) - f ( x ))/(h) = 6 x + 3 h

E

(f (w) - f ( x ))/(w - x) = 3 ( w + x )

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