Determine uma equação da curva que passa pelo ponto ( 1 ,   1 ) cuja inclinação em ( x ,   y ) é y 2 / x 3 .

Passo 1

A questão pede para achar a equação da curva que passa pelo ponto ( 1 ,   1 ) e cuja inclinação em cada ponto ( x ,   y ) seja y 2 / x 3 .

Sabemos que a inclinação de uma curva y = y x é sua derivada. Assim, o que temos que fazer nesse problema é achar a solução da equação diferencial

d y d x = y 2 x 3

sujeita à restrição y 1 = 1 .

A equação pode ser reescrita como

d y y 2 = d x x 3

Passo 2

Integrando de ambos os lados:

∫ y - 2   d y = ∫ x - 3   d x

Efetuando as integrais:

- 1 y = - 1 2 x 2 + C

Como y 1 = 1 , temos que

- 1 = - 1 2 + C ⇒ C = - 1 2

Assim,

- 1 y 2 = - 1 2 x 2 - 1 2 ⇒ 1 y 2 = 1 2 1 x + 1

Desta forma, a curva pedida é dada implicitamente pela equação

1 y 2 = 1 2 1 x + 1

Resposta

1 y 2 = 1 2 1 x + 1

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