Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 28
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas.
Passo 1
O problema pede para achar as trajetórias ortogonais as curvas dadas. Para isso, o prosseguimento é o seguinte:
Primeiro achamos a inclinação das tangentes tomando as derivadas:
Como queremos a trajetórias ortogonais, a inclinação das curvas que procuramos é dada por
Neste caso, temos . Assim, tomando a derivada implicitamente
Portanto,
Passo 2
Desta forma, a inclinação das trajetórias ortogonais serão
Para achar as curvas , basta fazer
Assim,
Integrando dos dois lados
Logo,
Assim, as trajetória ortogonais são:
Na figura a seguir esboçamos algumas dessas curvas para diferentes valores de :
Resposta
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