Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas.

x^2 - y^2 = k

Passo 1

O problema pede para achar as trajetórias ortogonais as curvas dadas. Para isso, o prosseguimento é o seguinte:

Primeiro achamos a inclinação das tangentes tomando as derivadas:

m = y '

Como queremos a trajetórias ortogonais, a inclinação das curvas que procuramos é dada por

m ' = - 1 m

Neste caso, temos x 2 - y 2 = k   . Assim, tomando a derivada implicitamente

2 x - 2 y   y ' = 0 ⇒ y ' = x y

Portanto,

m = x y

Passo 2

Desta forma, a inclinação das trajetórias ortogonais serão

m ' = - y x

Para achar as curvas y = y ( x ) , basta fazer

d y d x = m ' = - y x

Assim,

d y y = - d x x

Integrando dos dois lados

ln ⁡ y = - ln ⁡ x + C

Logo,

ln ⁡ y + ln ⁡ x = C ⇒ ln ⁡ ( x y ) = C ⇒ x y = e C = A

Assim, as trajetória ortogonais são:

y = A x

Na figura a seguir esboçamos algumas dessas curvas para diferentes valores de A :

Resposta

y = A x

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