A receita marginal de venda de x unidades de um produto é 12 - 0,0004 * x . Se a receita da venda das primeiras mil unidades é 12 400 , ache a receita de venda das primeiras 5 mil unidades.

Passo 1

Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Boa galera, nesse exercício queremos encontrar a receita de venda das primeiras 5 mil unidades com base nas informações do enunciado.

Para isso, utilizaremos o Teorema da Variação Total.

O Teorema da Variação Total, também conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo para a Análise Econômica, é um princípio importante na teoria econômica que relaciona a variação total de uma função com a área sob sua derivada.

Formalmente, o teorema afirma que se f ( x ) é uma função contínua em um intervalo fechado [ a , b ] e diferenciável em um intervalo aberto ( a , b ) , então a variação total de f ( x ) em [ a , b ] é dada pela integral definida da sua derivada f ' ( x ) em relação a x sobre o intervalo [ a , b ] :

V a r i a ç ã o   t o t a l = ∫ a b f ' x d x = f b - f ( a )

Passo 2

Pelo Teorema da Variação Total, podemos escrever

R 5000 - R 1000 = ∫ 1000 5000 R ' x d x

Substituindo os dados do enunciado temos

R 5000 = 12   400 + ∫ 1000 5000 12 - 0,0004 x d x

Passo 3

Podemos encontrar o valor desejado então resolvendo a integral

R 5000 = 12   400 + 12 x - 0,0004 2 x 2 1000 5000

Aplicando os limites de integração, a receita

R 5000 = $ 55   600

Resposta

A receita da venda das primeiras 5000 unidades é

R 5000 = $ 55   600

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