Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.1 - Ex. 15
Determine uma equação da esfera que passa pelo ponto (4, 3, -1) e tem centro (3, 8, 1).
Passo 1
Fala aí, pessoal! Este é um problema de Geometria Analítica. O autor nos dá as coordenadas do centro da esfera e de um ponto por onde ela passa e nos pede uma equação dela. Em nosso livro de Cálculo, nós aprendemos o seguinte:
Equação da Esfera: Uma equação da esfera de centro e raio é:
Em particular, se o centro da esfera for a origem do espaço euclidiano, a equação da esfera é dada:
Desse modo, para nós resolvermos o problema, nós precisamos encontrar a medida do raio da esfera e, então, substituir o valor encontrado bem como das coordenadas do centro na Equação 1.
Passo 2
O raio da esfera é a medida da distância entre seu centro e qualquer um de seus pontos de coordenadas . A distância entre dois pontos e no espaço euclidiano é dada pela seguinte fórmula:
Portanto, o valor de da esfera do problema é igual a:
Então .
Passo 3
Determinada a medida de , basta substituirmos o valor encontrado na Equação 1 do Passo 1. Sendo assim, a equação da esfera do problema é igual a:
Resposta
Uma equação da esfera do problema é igual a