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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 47

Encontre o volume máximo de uma caixa retangular que está inscrita em uma esfera de raio r .

Passo 1

Pessoal, considerando que a esfera seja dada pela equação x 2 + y 2 + z 2 = r 2 , poderíamos escrever a função volume da caixa assim:

V = 2 x 2 y 2 z   ,           s e n d o   0 < x ,   y ,   z < r

V = 8 x y z

Mas podemos escrever z = r 2 - x 2 - y 2 por causa da equação da esfera:

V = 8 x y r 2 - x 2 - y 2

Passo 2

Show! Agora precisamos minimizar a função. Vamos determinar as derivadas parciais:

f x = 8 y r 2 - x 2 - y 2 + 1 2   .   - 2 x 8 x y r 2 - x 2 - y 2 = 8 y r 2 - 2 x 2 - y 2 r 2 - x 2 - y 2  

Analogamente, temos:

f y = 8 x r 2 - x 2 - 2 y 2 r 2 - x 2 - y 2

Para termos f x = 0 e f y = 0 simultaneamente, com x ,   y ≠ 0 :

r 2 - 2 x 2 - y 2 = 0 ⇒ y 2 = r 2 - 2 x 2

r 2 - x 2 - 2 y 2 = 0 ⇒ y 2 = 1 2 r 2 - x 2

Passo 3

A partir das duas equações encontradas anteriormente, vamos igualar as duas expressões de y 2 :

y 2 = r 2 - 2 x 2 = r 2 2 - x 2 2

2 r 2 - 4 x 2 = r 2 - x 2

3 x 2 = r 2

x = r 3

pois x > 0 . Agora substituímos esse valor de x em uma das expressões de y 2 :

y 2 = r 2 - 2 x 2 = r 2 - 2 r 3 2 = r 2 - 2 r 2 3 = r 2 3

⇒ y = r 3

Passo 4

Como o único ponto crítico encontrado foi r 3 , r 3 , podemos considerar que esse é o ponto que maximiza a função volume. Então vamos calcular esse volume máximo, substituindo os valores de x e y encontrados na função volume:

V = 8 r 3 r 3 r 2 - r 3 2 - r 3 2 = 8 r 2 3 r 2 - 2 r 2 3 = 8 r 2 3 r 3 = 8 r 3 3 3

Resposta

8 r 3 3 3

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