Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.16 - Ex. 4
Determine a equação da reta que é perpendicular à reta e tangente ao gráfico de .
Passo 1
Oi, pessoal! Tudo bom? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a equação da reta que é perpendicular à reta e tangente ao gráfico da curva de .
Para isso, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em possui o coeficiente angular igual a derivada da função em .
Além disso, quando duas retas são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares () é igual a .
Então aqui, para achar o coeficiente angular da reta dada, devemos isolar o e observar o termo que multiplica (este será o coeficiente angular). Depois é só aplicar na fórmula da reta tangente.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar isolando em , para descobrir o valor do coeficiente angular entre ela e a reta que nós vamos encontrar, que será perpendicular a ela. Olha só:
Dividindo ambos os lados por :
Como o coeficiente angular de é e como o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares é igual a , vamos ter:
Agora vamos achar o valor de .
Passo 3
Se sua derivada é dada por:
Assim:
Isolando :
Se , então substituindo em , vamos ter:
Passo 4
Podemos aplicar esses valores na fórmula da reta tangente. Assim:
Onde , temos:
Logo, a reta tangente é a de equação .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉