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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.5 - Ex. 66

Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t ,         y = 1 - t ,         z = 2 t , e intercepta essa reta.

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a equação da reta é preciso um ponto que pertence a ela ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor diretor ( a , b , c ) .

O ponto já temos: é P 0 ( 0,1 , 2 )

Passo 2

Agora temos que encontrar o vetor na direção da reta. Vamos pensar um pouco. Podemos calcular um vetor a partir da reta ao ponto dado. Fazendo t = 0 nas equações paramétricas da reta teremos o ponto Q ( 1 , 1,2 ) . Outro ponto arbitrário é quando fazemos t = 1 , R ( 2 , 0,2 ) . O vetor que liga esses dois pontos é:

v → = Q - R = ( - 1,1 , 0 )

Outro vetor seria o vetor que liga a reta dada ao ponto P 0 :

u → = P 0 - R = ( - 2,1 , 0 )

Assim um vetor que seja na direção da reta vai ser o vetor resultante do produto vetorial entre esses dois vetores. Assim ó:

n → = - 1,1 , 0 × 2,1 , 0 = i → j → k → - 1 1 0 - 2 - 1 2 = i → 2 + 0 + j → 0 + 2 + k → ( 1 + 2 )

Assim o vetor diretor da reta vai ser:

n → = 2 i → + 2 j → + 3 k →

Passo 3

Já que temos o vetor diretor n → = ( a , b , c ) = ( 2,2 , 3 ) e o ponto P = x 0 , y 0 , z 0 = ( 0,1 , 2 ) , e lembrando que a equação paramétrica da reta é:

x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t

Agora é só substituir!

x = 2 t y = 1 + 2 t z = 2 + 3 t

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

x = 2 t y = 1 + 2 t z = 2 + 3 t

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Apresentar uma equação geral dos planos em que:O plano passa pela origem e é paralelo às retas r 1 : y = - x , z = 2 e r 2 : x , y , z = 2 , - 1,4 + t 1,3 , - 3 .
Calcular k de modo que a reta determinada por A 1 , - 1,0 e B k , 1,2 seja paralela ao plano π : x = 1 + 3 h , y = 1 + 2 h + t , z = 3 + 3 t .
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Apresentar uma equação geral dos planos em que:O plano passa por A - 1,2 , 5 e é perpendicular à interseção dos planos π 1 : 2 x - y + 3 z - 4 = 0 e π 2 : x + 2 y - 4 z + 1 = 0 .
Apresentar uma equação geral dos planos em que:O plano passa por A - 1,2 , - 4 e é perpendicular aos planos π 1 : x + z = 2 e π 2 : y - z = 0 .