Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 56
Apresentar uma equação geral dos planos em que:
O plano passa por e é perpendicular aos planos e .
Passo 1
Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato da equação geral de um plano:
Onde é o vetor normal do plano.
Agora precisamos então encontrar os valores , e do vetor normal , vamos encontrar usando as informações dos planos.
Passo 2
O vetor normal do plano é simultaneamente ortogonal aos vetores normais dos planos e , podemos então encontrar vetor da seguinte forma, calculado o produto vetorial entre o vetor normal de e de :
Temos que os vetores normais de e de são:
Pronto, podemos então achar o vetor normal .
Passo 3
Agora que temos os vetores normais podemos calcular o produto vetorial, vamos lá:
Pronto, o vetor normal do plano é:
Agora é só substituir na equação do plano:
Passo 4
Só nos falta encontrar o valor de , e vamos usar o ponto que passa pelo plano para encontrar, é só substituirmos ele na equação do plano e encontramos o valor de :
Pronto, substituindo temos que a equação geral do plano que passa por e é perpendicular aos planos e é: