Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 24
- Na Regra do Ponto Médio para as Integrais Triplas, usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla em uma caixa B, onde é calculada no centro da caixa . Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar , onde é o cubo definido por , , . Divida em oito cubos de igual tamanho.
- Use um sistema de computação algébrica para aproximar a integral da parte (a) com precisão de duas casas decimais. Compare com a resposta da parte (a).
Passo 1
E aí, meus queridos! Tudo certo?
Nossa questãozinha pede pra gente usar a regra do ponto médio para integrais triplas para que a gente ache o valor de:
Onde a região de integração é:
é o cubo definido por , ,
A regra do ponto médio é dada pela relação:
Aqui para nós:
Calma! Hehe. Vamos entender o que isso significa na prática. Essa equação está dizendo que o volume de um sólido pode ser reescrito como a soma dos valores da função nos pontos médios, multiplicados pelo volume das subcaixas.
Primeiro dividimos a região de integração em oito cubos de igual tamanho. Depois, calculamos os pontos médios de cada uma desses cubos. Avaliamos a função nesses pontos e calculamos os volumes de cada cubo. Depois aplicamos na nossa soma.
Depois, para a parte b) é só jogarmos nossa integral tripla em um software como o WolframAlpha.
Vamos aplicar!
Passo 2
- Vamos começar achando os pontos médios de cada subcaixa. O cubo é definido por:
Como cada dimensão tem comprimento 4 e queremos dividir em 8 partes iguais, os pontos de corte devem ser feitos a cada unidades.
Então podemos dividir esse nosso cubo em 8 sub-cubos e cada um vai ter dimensões:
e o ponto médio desses intervalos são e .
Como as variações de e são iguais, os pontos médios dos oito sub-cubos é a combinação desses dois valores (1 e 3) em todas as variáveis, então ficamos com os pontos
Passo 3
Aqui nós vamos encontrar o volume de cada sub-cubo. No nosso caso, como cada sub-cubo tem dimensões igual, todos terão o mesmo volume, que será:
Passo 4
Agora, pegamos a função neste ponto médio e multiplicamos pelo volume da caixa, como temos as caixas idênticas, de volume . Podemos colocar 8 em evidência, já que ele vai multiplicar todos os termos da soma.
Exemplificando o cálculo da função no ponto:
- :
Nada mais é que aplicarmos o ponto médio:
Na função:
Ficando então com:
Agora é só aplicarmos esse procedimento para todos os 8 pontos médios.
temos que:
Passo 3
Temos então:
Calculando a diferença entre os dois resultados:
Temos uma diferença menor que entra a letra (a) e (b) o que garante uma boa aproximação para dois dígitos significativos.