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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 23

Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.

x = t 2 + 1 ,         y = 4 t         z = e t 2 - t ; 2,4 , 1

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A gente precisa encontrar as equações paramétricas de reta tangente a curva:

x = t 2 + 1 ,         y = 4 t         z = e t 2 - t

No ponto:

2,4 , 1

A equação vetorial pode ser escrita como:

r t = x t ,   y t ,   z t

r t = t 2 + 1 ,   4 t ,   e t 2 - t

Para que tenhamos a equação da reta tangente, precisamos de um vetor diretor e um ponto, o ponto a gente já tem, nos foi dado no enunciado, então precisamos ir atras do vetor diretor. Ele é encontrando derivando r ( t ) .

Passo 2

Vamos derivar r ( t ) com relação a t :

d d t r t = 2 t , 4 1 2 t , e t 2 - t 2 t - 1

d d t r t = 2 t , 2 t , e t 2 - t 2 t - 1

O valor paramétrico que corresponde ao ponto 2,4 , 1 é quando t = 1 . Podemos descobrir isso substituindo o valor de alguma coordenada do ponto a sua respectiva equação paramétrica:

x = t 2 + 1

2 = t 2 + 1

t 2 = 1

t = 1

Desconsideramos o - 1 pois em:

y = 4 t

Não podemos ter o - 1 como parâmetro.

Agora vamos aplicar t = 1 :

d d t r 1 = 2 1 , 2 1 , e 1 2 - 1 2 1 - 1

r ' 1 = 2 ,   2 ,   1

Passo 3

A nossa função pode ser escrita como:

r = r 0 + t v

Onde:

r 0 = 2,4 , 1

v = r ' = 2 ,   2 ,   1

Logo:

r = 2 ,   4 ,   1 + t 2 ,   2 ,   1

r = 2 ,   4 ,   1 + 2 t ,   2 t ,   1 t

r = 2 t + 2 ,   2 t + 4 ,   t + 1

Portanto, as equações paramétricas correspondentes serão:

r = < x t ,   y t ,   z t >

Então teremos:

x t = 2 t + 2

y t = 2 t + 4

z t = 1 + t

Resposta

x t = 2 t + 2

y t = 2 t + 4

z t = 1 + t

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