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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 17

Teste a série quanto a sua convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ … ∙ ( 3 n - 1 )  

Passo 1

A principal estratégia para resolver esse tipo de questão sem perda de tempo e esforço é classificando a série de acordo com a sua forma.

A série do enunciado, por possuir diversos produtos, tem como melhor estratégia o uso do Teste da Razão.

Passo 2

Através do enunciado, vemos que

a n = 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ … ∙ ( 3 n - 1 )

No Teste da Razão, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

onde

L < 1 ,         a   s é r i e   é   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e L > 1 ,           a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e L = 1 ,           n ã o   s e   p o d e   t i r a r   c o n c l u s õ e s

Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 2 - 1 ) 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ … ∙ ( 3 n - 1 ) ( 3 n + 3 - 1 ) 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ … ∙ ( 3 n - 1 ) 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 )  

Agora vamos reescrever esta equação de forma que podemos simplificá-la e expandir o termo fatorial:

lim n → ∞ ⁡ 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 ) 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ … ∙ ( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 ) 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ … ∙ ( 3 n - 1 ) 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 )  

Em seguida, vamos cortar os termos iguais, obtendo

lim n → ∞ ⁡ ( 2 n + 1 ) ( 3 n + 2 )  

Colocando n como fator comum, chegamos em

lim n → ∞ ⁡ ( 2 n + 1 ) ( 3 n + 2 )   = lim n → ∞ ⁡ ( 2 + 1 / n ) ( 3 + 2 / n )   = 2 3

Logo,

L = 2 3 < 1

Neste caso, a série é absolutamente convergente.

Resposta

absolutamente convergente.

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ 2 n ! n ! 2
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ n 100 100 n n !
Seja {bn} uma sequência de números positivos que converge para . Determine se a série dada é absolutamente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ! n n b 1 b 2 b 3 … b n
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Suponhamos que a série ∑ a n seja condicionalmente convergente.(a) Demonstre que a série ∑ n 2 a n é convergente.(b) A convergência condicional de não é suficiente para determinar se ∑ na n é converge