Enunciado

Descreva o conjunto de todos os vetores w → ortogonais a v → = ( 2 ,   1 ,   2 ) tais que u → = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) seja combinação linear de v → , w → .

Passo 1

Nesse problema queremos achar w → = ( x ,   y ,   z ) que seja ortogonal a v → = ( 2 ,   1 ,   2 ) :

x , y ,   z ⋅ 2 ,   1 ,   2 = 0 ⇒ 2 x + y + 2 z = 0 ⇒ y = - 2 x - 2 z

Portanto,

w → = ( x ,   - 2 x - 2 z ,   z )

Passo 2

Queremos também que u → = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) seja combinação linear de v → ,   w → . Em outras palavras, queremos que o conjunto u → ,   v → ,   w → seja LD. Para isso, o determinante das coordenadas deve ser nulo:

1 2 x 1 1 - 2 x - 2 z - 1 2 z = 0

Desenvolvendo com relação a primeira linha:

1 ⋅ z + 4 x + 4 z - 2 ⋅ z - 2 x - 2 z + x ⋅ 2 + 1 = 0

Portanto,

4 x + 5 z + 4 x + 2 z + 3 x = 0 ⇒ 11 x + 7 z = 0

Passo 3

Desta forma,

z = - 11 x 7 ⇒ y = - 2 x - 2 ⋅ - 11 x 7 = - 2 x + 22 x 7 = 8 x 7

Assim,

w → = x , 8 x 7 ,   - 11 x 7 = x 7 ( 7 ,   8 ,   - 11 )

Assim, o conjunto dos vetores w → é dado por

w → = λ   7 ,   8 ,   - 11

Resposta

w → = λ   7 ,   8 ,   - 11

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