Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 58
Mostre que toda reta normal a esfera passa através do centro da esfera.
Passo 1
Oie, meu querido e amado amigo. Vamos juntos resolver essa atividade viu.
Aqui a gente precisa provar uma proposição dada.
Nessa tarefa, precisamos provar que, para qualquer esfera, toda linha normal para ela passa pelo centro. Vamos encontrar as derivações parciais e usá-las para encontrar a linha normal. Então, vamos substituir algum ponto arbitrário nele e tentar obter uma afirmação verdadeira.
Passo 2
Suponha que seja um ponto da esfera , primeiro iremos calcular as derivadas parciais de :
Calculando cada derivada parcial, teremos:
Para o ponto a equação da reta normal é:
Para a origem estar na linha precisamos que:
Que é igual a:
O que é verdade, e isso prova que toda linha normal para a esfera passa pelo centro da esfera.
Resposta
Ver o desenvolvimento.