Enunciado

Mostre que toda reta normal a esfera x 2 + y 2 + z 2 = r 2 passa através do centro da esfera.

Passo 1

Oie, meu querido e amado amigo. Vamos juntos resolver essa atividade viu.

Aqui a gente precisa provar uma proposição dada.

Nessa tarefa, precisamos provar que, para qualquer esfera, toda linha normal para ela passa pelo centro. Vamos encontrar as derivações parciais e usá-las para encontrar a linha normal. Então, vamos substituir algum ponto arbitrário nele e tentar obter uma afirmação verdadeira.

Passo 2

Suponha que x 0 ,   y 0 ,   z 0 seja um ponto da esfera x 2 + y 2 + z 2 = r 2 , primeiro iremos calcular as derivadas parciais de f = x 2 + y 2 + z 2 - r 2 :

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - r 2

Calculando cada derivada parcial, teremos:

f x = 2 x   ; f y = 2 y   ; f z = 2 z

Para o ponto   ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) a equação da reta normal é:

x - x 0 2 x 0 = y - y 0 2 y 0 = z - z 0 2 z 0

Para a origem 0 ,   0 ,   0 estar na linha precisamos que:

- x 0 2 x 0 = - y 0 2 y 0 = - z 0 2 z 0

Que é igual a:

- 1 2 = - 1 2 = - 1 2

O que é verdade, e isso prova que toda linha normal para a esfera passa pelo centro da esfera.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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