Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.

f(x, y) = arctg(x - 2y) e m(2, 1/2, f(2, 1/2))

Passo 1

Podemos encontrar o plano tangente pela fórmula

z - f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto dado. Vamos então calcular as derivadas

f x = 1 1 + x - 2 y 2

f y = - 2 1 + x - 2 y 2

Substituindo no ponto 2 , 1 2

f x 2 , 1 2 = 1 1 + 2 - 2 ⋅ 1 2 2 = 1 1 + 2 - 1 2 = 1 2

f y 2 , 1 2 = - 2 1 + 2 - 2 ⋅ 1 2 2 = - 2 1 + 2 - 1 2 = - 1

Precisamos também da função neste ponto

f 2 , 1 2 = arctan ⁡ 2 - 2 ⋅ 1 2 = arctan ⁡ 1 = π 4

Substituindo todos os valores na equação do plano

z - f 2 , 1 2 = f x 2 , 1 2 x - 2 + f y 2 , 1 2 y - 1 2

z - π 4 = 1 2 x - 2 - y - 1 2

z - π 4 = x 2 - 1 - y + 1 2

2 z - π 2 = x - 2 y - 1

x - 2 y - 2 z = 1 - π 2

Passo 2

Para encontrar a reta normal ao plano, podemos usar o vetor normal, que tiramos dos coeficientes da equação do plano n → = 1 ,   - 2 , - 2 no ponto dado 2 , 1 2   , π 4 e jogamos na fórmula da equação da reta

x , y , z = 2 , 1 2 , π 4 + t 1 , - 2 , - 2 ,     t ∈ R

Resposta

x - 2 y - 2 z = 1 - π 2

x , y , z = 2 , 1 2 , π 4 + t 1 , - 2 , - 2 ,     t ∈ R

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