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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 48

Use um computador para desenhar a superfície, do plano tangente e da reta normal na mesma tela. Escolha o domínio cuidadosamente para evitar planos verticais estranhos. Escolha um ponto de vista que permita uma boa visualização de todos os 3 objetos.

x y z = 6

1 , 2 , 3

Passo 1

Oie, essa atividade exige de a gente utilizar um software gráfico.

Iremos utilizar o GeoGebra para resolver essa, ele é gratuito e online, ajuda bastante.

Pelo problema:

F x , y , z = x y z

E para encontrarmos o plano tangente a uma superfície w = f x , y , z em um ponto P x 0 , y 0 , z 0 nós precisamos utilizar a seguinte equação:

f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

E para encontrarmos a reta normal ao ponto P x 0 , y 0 , z 0 a gente usa a formula:

x - x 0 f x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 f y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 f z x 0 , y 0 , z 0

Então veja que precisaremos encontrar as derivadas parciais da nossa função. Depois com as equações em mãos, basta que coloquemos elas no GeoGebra 3 D que ele plota tudo para a gente.

Passo 2

Vamos então as derivadas parciais:

F x , y , z = x y z - 6

f x = y z

E temos que:

f y = x z

E por último:

f z = x y

E agora iremos calcular a derivada parcial em P :

f x 1,2 , 3 = 6

f y 1,2 , 3 = 3

f z 1,2 , 3 = 2

O plano tangente será então:

f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

6 x - 1 + 3 y - 2 + 2 z - 3 = 0

Realizando os produtos:

6 x + 3 y + 2 z - 18 = 0

Agora a gente vai encontrar a equação da reta normal:

x - x 0 f x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 f y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 f z x 0 , y 0 , z 0

x - 1 6 = y - 2 3 = z - 3 2

Passo 3

No GeoGebra a gente coloca as nossas equações e gera o seguinte grafico:

Resposta

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Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado. y = x 2 - z 2 4,7 , 3
Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado. 2 x - 2 2 + y - 1 2 + z - 3 2 = 10 3,3 , 5
Nos Exercícios 47 e 48, encontre uma equação para o plano tangente à superfície de nível ƒ(x, y, z) = c no ponto P0. Encontre também equações paramétricas para a reta que é normal à superfície em P0.
Nos Exercícios 45 e 46, esboce a superfície ƒ(x, y, z) = c juntamente com §ƒ nos pontos dados. y 2 + z 2 = 4 ( 0 ,± 2 ,0 ) ( 2 , 0 , ± 2 )