Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 44

Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

y z = ln ⁡ x + z

0,0 , 1

Passo 1

Opa galerinha!!! Tudo bem??? Seguinte... O enunciado nos deu a seguinte expressão:

y z = ln ⁡ x + z

Com isso, queremos encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada no ponto 0,0 , 1 .

Para isso, primeiramente temos que calcular as derivadas parciais da função.

Assim, temos que lembrar que a equação do plano tangente tem o seguinte formato:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + ∂ f ∂ z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

E a reta normal a gente encontra utilizando a seguinte equação:

x - x 0 ∂ f ∂ x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 ∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 ∂ f ∂ z x 0 , y 0 , z 0

Mas a questão nos deu uma expressão e não uma função. E agora???

É simples!! Basta passarmos todo mundo para um lado e transformar em função, veja:

y z = ln ⁡ x + z ∴

ln ⁡ x + z - y z = 0 ∴

f x , y , z = ln ⁡ x + z - y z

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais.

Para isso, basta lembrar que vamos derivar a nossa expressão em relação a variável que estamos tratando e vamos fazer todo o resto como constante.

É interessante a gente lembrar que a derivada do logaritmo natural é dada da seguinte forma:

ln ⁡ u ' = 1 u

Com isso, aplicando a Regra da Cadeia, temos que a derivada em relação a x é dada por:

f x = ∂ ∂ x ln ⁡ x + z - y z ∴

f x = ∂ ∂ x ln ⁡ x + z - 0 ∴

f x = 1 x + z

De forma análoga, temos que a derivada em relação a y é dada por:

f y = ∂ ∂ y ln ⁡ x + z - y z ∴

f y = 0 - z ∂ ∂ y y ∴

f y = - z

E a derivada com relação a z é dada da seguinte forma:

f z = ∂ ∂ z ln ⁡ x + z - y z ∴

f z = ∂ ∂ z ln ⁡ x + z - ∂ ∂ z y z ∴

f z = 1 x + z - y

Passo 3

Agora vamos aplicar o ponto 0,0 , 1 nas derivadas.

Para a derivada f x :

f x 0,0 , 1 = 1 0 + 1 ∴

f x 0,0 , 1 = 1

Para a derivada f y :

f y 0,0 , 1 = - 1

E, para a derivada f z , temos:

f z 0,0 , 1 = 1 0 + 1 - 0 ∴

f z 0,0 , 1 = 1

Passo 4

Com isso, substituindo na fórmula do plano tangente, temos:

∂ f ∂ x 0,0 , 1 x - 0 + ∂ f ∂ y 0,0 , 1 y - 0 + ∂ f ∂ z 0,0 , 1 z - 1 = 0 ∴

1 ⋅ x - 0 - 1 ⋅ y - 0 + 1 ⋅ z - 1 = 0 ∴

x - y + z = 1

Passo 5

E, substituindo na expressão da reta normal, obtemos:

x - x 0 ∂ f ∂ x 0,0 , 1 = y - y 0 ∂ f ∂ y 0,0 , 1 = z - z 0 ∂ f ∂ z 0,0 , 1 ∴

x - 0 1 =   - y - 0 1 =   z - 1 1 ∴

x = - y = z - 1

Resposta

x - y + z = 1

x = - y = z - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados. x - y 2 = - 4 ; P 0 - 3,1
Determinar uma equação vetorial para a reta normal à superfície dada, nos pontos indicados: z = x 2 + y 2 - 1 ; P 0 1,1 , 1
Determinar uma equação vetorial para a reta normal à superfície dada, nos pontos indicados: x + 1 2 y + 1 3 z = 1 ; P 0 1,2 , - 3
Determinar uma equação vetorial para a reta normal à superfície dada, nos pontos indicados: x 2 4 + y 2 + z 2 9 = 1 ; P 0 0 , 1 2 , 3 3 2
Nos Exercícios 47 e 48, encontre uma equação para o plano tangente à superfície de nível ƒ(x, y, z) = c no ponto P0. Encontre também equações paramétricas para a reta que é normal à superfície em P0.