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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.3 - Ex. 55

Determine as equações dos planos normais e osculador da curva de interseção dos cilindros parabólicos x = y ² e z = x ² no ponto (1, 1, 1).

Passo 1

Para ajudar a determinar as equações dos planos normais e osculador da curva de interceção dos cilindros parabólicos, vamos começar parametrizandos as curvas.

Vamos chamar y = t , então teremos que x = t ² e z = t 4 .

Obtendo então o seguinte vetor: r t = t 2 , t , t 4

Derivando : r t = t 2 , t , t 4 obtemos: : r ' t = 2 t , 1,4 t ³  

Desta forma: r ' 1 = 2,1 , 4

Passo 2

A equação do plano normal pode ser obtida fazendo:

x ' t x - 1 + y ' t y - 1 + z ' t z - 1 = 0

Como queremos saber o plano que passa pelo ponto ( 1,1 , 1 ) , temos:

x ' 1 x - 1 + y ' 1 y - 1 + z ' 1 z - 1 = 0

Portanto a equação do plano normal é:

2 x - 1 + 1 y - 1 + 4 z - 1 = 0

2 x + y + 4 z = 7

Passo 3

Já a equação do plano osculador é:

T t = r ' t r ' t = 2 t , 1,4 t ³ ∙ 1 4 t 2 + 1 + 16 t 6

Derivando T t :

T ' ( t ) = - 1 2 4 t 2 + 1 + 16 t 6 - 3 2 8 t + 96 t 5 2 t , 1,4 t 3 + ( 4 t 2 + 1 + 16 t 6 ) - 1 2 2,0 , 12 t 2

Um vetor normal ao plano osculador é v 1 = T 1 × N ( 1 ) , onde   T 1 é um vetor paralelo a r '   ( 1 ) e N 1   é um vetor paralelo a T ' ( 1 ) .

Calculando T 1 = 2,1 , 4

Calculando N 1 = - 31 , - 26,22

Desta forma v 1 = 2,1 , 4   × - 31 , - 26,22 = 126 , - 168 , - 21

Portanto a equação do plano osculador é:

v x ' t x - 1 + v y ' t y - 1 + v z ' t z - 1 = 0

Como queremos saber o plano que passa pelo ponto ( 1,1 , 1 ) , temos:

v x ' 1 x - 1 + v y ' 1 y - 1 + v z ' 1 z - 1 = 0

126 x - 1 + ( - 168 ) y - 1 + ( - 21 ) z - 1 = 0

6 x - 8 y - z = - 3

Resposta

Equação do plano normal: 2 x + y + 4 z = 7

Equação do plano osculador:

6 x - 8 y - z = - 3

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Encontre o comprimento da curva para 4 casas decimais. (Use uma calculadora para aproximar a integral.) r → t = cos ⁡ π t , 2 t , s e n ⁡ 2 π t ,p a r a1,0 , 0a t é( 1,4 , 0 ) é