Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 2 ∞ b n ln ⁡ n x - a n ,   b > 0

Passo 1

Para encontrarmos o raio de convergência, o primeiro passo é aplicar o teste da razão.

Temos que

a n = b n x - a n ln ⁡ n

Então, fazemos

a n + 1 = b n + 1 x - a n + 1 ln ⁡ ( n + 1 )

Passo 2

Assim,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ b n + 1 x - a n + 1 ln ⁡ ( n + 1 ) ⋅ ln ⁡ n b n x - a n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) ⋅ b x - a = b | x - a |

Desde que,

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ ( x + 1 ) ⇒ L ' H = lim n → ∞ ⁡ 1 x 1 ( x + 1 ) = lim n → ∞ ⁡ x + 1 x ⇒ L ' H = l i m n → ∞ 1 1 = 1

Passo 3

Pelo teste da razão, a série ∑ n = 2 ∞ b n ln ⁡ n x - a n

Converge quando

b x - a < 1   ⇔ x - a < 1 b   ⇔ - 1 b < x - a < 1 b ⇔ a - 1 b < x < a + 1 b

Passo 4

Então, o raio de convergência

R = 1 b

Agora vamos verificar os pontos de extremidade, ou seja,

Quando

x = a + 1 b

A série ∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n , é divergente pela comparação com a p-série ∑ n = 2 ∞ 1 n , desde que 1 ln ⁡ n > 1 n para n ≥ 2 .

Quando

x = a - 1 b

A série ∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n converge pelo teste das séries alternadas.

Então, o intervalo de convergência é:

I = a - 1 b , a + 1 b

Resposta

R = 1 b

I = a - 1 b , a + 1 b

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