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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 24

Encontre a curvatura para r → t = t 2 , ln ⁡ t , t ln ⁡ t no ponto ( 1,0 , 0 ) .

Passo 1

Olá, meu amigo. A gente tem a função:

r → t = t 2 , ln ⁡ t , t ln ⁡ t

E precisamos calcular a sua curvatura no ponto:

1,0 , 0

A curvatura de uma função vetorial (curva) é dada por:

k t = | r → ' t × r → ' ' t | r → ' t 3

Desta forma precisamos encontrar quem é r → ' t e r → ' ' t , que são a primeira e a segunda derivada de r → t . Mas como r → t é uma função vetorial a derivada da função corresponde a derivada de cada componente i ,   j e k .

Passo 2

Calculando a primeira derivada:

r → ' t = 2 t + 1 t j ^ + ln ⁡ t + 1 k ^

Calculando a segunda derivada:

r → ' ' t = 2 i ^ - 1 t 2 j ^ + 1 t k ^

Passo 3

Calculando k ( t ) :

k t = r → ' t × r → ' ' t r → ' t 3

k t = | 2 t , 1 t , ln ⁡ t + 1 × 2 , - 1 t 2 , 1 t | 2 t , 1 t , ln ⁡ t + 1 3

O produto vetorial pode ser calculado a partir do determinante da matriz:

2 t , 1 t , ln ⁡ t + 1 × 2 , - 1 t 2 , 1 t = i ^ j ^ k ^ 2 t 1 t ln ⁡ t + 1 2 - 1 t 2 1 t

Precisamos calcular o determinante da nossa matriz:

2 t , 1 t , ln ⁡ t + 1 × 2 , - 1 t 2 , 1 t = î 1 t ⋅ 1 t + j ^ ln ⁡ t + 1 2 + k ^ 2 t - 1 t 2

2 t , 1 t , ln ⁡ t + 1 × 2 , - 1 t 2 , 1 t = 2 t 2 + ln ⁡ t t 2 , 2 ln ⁡ t , - 4 t

O módulo de um vetor é:

u → = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2

Então:

2 t 2 + ln ⁡ t t 2 , 2 ln ⁡ t , - 2 t 2 - 2 t = 2 t 2 + ln ⁡ t t 2 2 + 2 ln ⁡ t 2 + - 2 t 2 - 2 t 2

2 t , 1 t , ln ⁡ t + 1 = 4 t ² + 1 t 2 + ln ⁡ t + 1 2

Desta forma k ( t ) é:

k t = 2 t 2 + ln ⁡ t t 2 2 + 2 ln ⁡ t 2 + - 2 t 2 - 2 t 2 4 t ² + 1 t 2 + ln ⁡ t + 1 2 3 / 2

Passo 4

Mas queremos saber k ( t ) referente a ponto ( 1,0 , 0 ) . Esse ponto ocorre quando t = 1 , para verificarmos isso basta substiruir t = 1 em r → t = t 2 , ln ⁡ t , t ln ⁡ t .

Portanto:

k 1 = 2 1 2 + ln ⁡ 1 1 2 2 + 2 ln ⁡ 1 2 + - 2 1 2 - 2 1 2 4 ∙ 1 2 + 1 1 2 + ln ⁡ 1 + 1 2 3 2

k 1 = 20 6 3

k 1 = 2 5 6 6

k 1 = 30 18

Resposta

A curvatura no ponto ( 1,0 , 0 ) é:

k 1 = 30 18

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