Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.5 - Ex. 57
Determine as equações simétricas da reta de intersecção dos planos e determine o ângulo entre os planos.
Passo 1
Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a equação da reta precisamos de um vetor direto e um ponto? Pois bem, vamos começar determinando um ponto que pertença aos dois planos ao mesmo tempo.
Vou fixar um valor de . Por simplicidade em . Assim temos um sistema:
Subtraindo as duas equações temos:
Assim temos que o valor de é . Então o primeiro ponto é que satisfaz os dois planos simultaneamente.
Passo 2
Agora o vetor diretor dessa reta é aquele que é simultaneamente ortogonal aos vetores dos planos. Podemos determinar ele pelo produto vetorial.
Vou começar por denominar os planos e seus respectivos vetores diretores:
, e seu vetor:
, e seu vetor:
O produto vetorial entre eles é:
Passo 3
Já que temos o vetor diretor e escolhendo o ponto , e lembrando que a equação da reta é;
Assim a equação dessa reta é :
E na forma simétrica temos:
Agora vamos determinar o ângulo entre os planos? Bora lá!
Passo 4
O ângulo entre dois planos é dado pela seguinte fórmula:
Onde é o módulo do produto escalar entre os vetores normais aos planos e são as respectivas normas dos vetores.
Mas calma! Vamos calcular cada coisa de cada vez!
Vamos começar?
Do passo temos os planos e seus respectivos vetores diretores:
, e seu vetor:
, e seu vetor:
Agora vou determinar a norma de cada vetor. Lembrando que norma de um vetor de coordenadas é
Então as normas vão ser:
- :
- :
Passo 5
Agora vou determinar o produto escalar entre e :
Passo 6
Agora que sabemos de todos os valores, é só substituir lá na expressão do passo para o cosseno entre dois vetores:
E o ângulo entre os planos vai ser:
Feito! O ângulo é .