O triângulo A B C é retângulo em B e está contido em π 1 : x + y + z = 1 . O cateto B C está contido em π 2 : x - 2 y - 2 z = 0 e a hipotenusa mede 2 6 3 . Sendo A = ( 0 ,1 ,0 ) , determine B e C (o sistema de coordenadas é ortogonal).

B = 2 3 , 2 3 ,- 1 3 C ' = 2 3 ,- 1 3 , 2 3 C ' ' = 2 3 , 5 3 ,- 4 3

Enunciado

Pelos dados do exercício, a imagem que temos é mais ou menos isso aqui:

Onde o plano laranja é , o plano azul é e queremos descobrir os pontos e .

Os pontos e vão estar na reta da intersecção dos planos, vamos encontrar essa reta pelo sistema:

Somando as duas equações:

Substituindo na primeira equação:

Então a reta vai ser dada por:

Transformando no parâmetro , temos a reta:

Sabemos que o ponto está na reta certo?

Então ele pode ser escrito de uma forma genérica:

Sabemos que o vetor , hipotenusa do triângulo, deve medir . Temos que:

Calculando o módulo de e igualando a :

Resolvendo essa equação, encontramos e , então os possíveis pontos são:

O que nos dá algo parecido com isso:

Agora precisamos achar o ponto , mas epa, se o triângulo é retângulo, ele com certeza está no ponto médio entre os dois valores possíveis de , então:

Então, temos essas duas possibilidades de triângulo retângulo: