Um triângulo retângulo de área 1 tem os catetos contidos nos eixos e e a hipotenusa na reta . Seus vértices têm coordenadas inteiras, e é concorrente com a reta

Escreva uma equação vetorial de (o sistema de coordenadas é ortogonal).

Antes de qualquer coisa, vamos encontrar a reta , ela é a intersecção entre os planos:

Multiplicando a equação de baixo por :

Somando as duas equações:

Substituindo na equação de cima:

Então, a reta é dada por

Trocando o parâmetro por , temos

Agora vamos analisar duas informações aqui:

O enunciado disse que o triângulo retângulo tem área , ou seja:

Mas ao mesmo tempo, ele disse que as coordenadas dos vértices são inteiras.

Então, ou e ou e .

Dessa forma, temos duas opções para os vértices e catetos desse triângulo retângulo:

e

e

Dessa forma, a princípio teríamos duas opções pra reta :

O enunciado nos disse que a reta é concorrente com a reta , ou seja, elas devem se cruzar em algum momento.

Como a reta está no plano , ou seja, no plano , a reta vai cruzar com a reta no mesmo ponto onde cruza esse plano:

Vamos encontrar a intersecção da reta com o plano .

Um ponto genérico da reta é

Vamos substituir esse ponto no plano:

Opa, então a intersecção da reta e do plano é dada quando , ou seja:

Que é o mesmo ponto onde a reta vai cruzar a reta :D

Vimos no passo 3 duas opções para a reta :

Mas agora temos que conferir em qual delas vai passar o ponto , para que assim, elas sejam concorrentes com a reta .

Vamos lá, primeiro para a reta :

Igualando as coordenadas:

Da segunda equação, temos que . Substituindo na primeira:

Opa, chegamos em uma desigualdade, então não existe tal que pertença à reta :/ Então ela não é concorrente com a reta .

Agora vamos testar para a reta :

Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira equação:

Ebaaa, então esse sistema é possível e existe um tal que pertença a !!

Então é a reta que estávamos procurando:

E vimos no passo 3 que ela é dada quando e :