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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.1 - Ex. 25

Determine as equações de todas as retas com coeficiente angular - 1 que sejam tangentes à curva y = 1 / ( x - 1 ) .

Passo 1

A primeira parte é relembrar como se calcula o coeficiente angular da curva

m = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f x 0 h

Passo 2

Considerando o coeficiente angular igual a - 1

- 1 = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f x 0 h

Substituindo a função f x na equação acima:

- 1 = lim h → 0 ⁡ 1 x + h - 1 - 1 x - 1 h

Agora podemos fazer o MMC dos termos do numerador

- 1 = lim h → 0 ⁡ x - 1 - x + h - 1 x + h - 1 x - 1 h

- 1 = lim h → 0 ⁡ x - 1 - x + h - 1 h x + h - 1 x - 1

- 1 = lim h → 0 ⁡ x - 1 - x - h + 1 h x + h - 1 x - 1

- 1 = lim h → 0 ⁡ - h h x + h - 1 x - 1

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h

- 1 = lim h → 0 ⁡ - 1 x + h - 1 x - 1 = - 1 x + 0 - 1 x - 1 = - 1 x - 1 2

- 1 = - 1 x - 1 2

- x - 1 2 = - 1

x - 1 2 = 1

Abrindo o termo quadrático

x 2 - 2 x + 1 = 1

x 2 - 2 x = 0

Colocando o x em evidência

x x - 2 = 0

Portanto,

x = 0   ou   x = 2

Passo 4

Agora que encontramos os valores de x , podemos encontrar os valores de f x

f x = 1 x - 1

f 0 = 1 0 - 1 = - 1

f 2 = 1 2 - 1 = 1

Passo 5

Podemos encontrar agora as tangentes à função dada, lembrando que a equação da tangente é

y - f a = m x - a

Se x = 0

y + 1 = - 1 x - 0 → y = - x - 1

Se x = 2

y - 1 = - 1 x - 2 → y = - x + 3

Prontinho.

Resposta

y = - x - 1 ou y = - x + 3

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Derive a função. F x = - 4 x 10
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Derive a função. y = x 3