Enunciado

Determine o valor da derivada

((d r)/(d theta)| theta = 0 , s e r = (2)/(sqrt(4 - theta))

Passo 1

Primeiro, devemos saber que definimos a derivada de uma função como sendo:

(d)/(d theta) f ( theta ) = underset(h -> 0)(lim) (f ( theta + h ) - f ( theta ))/(h)

Passo 2

Calculando a derivada:

(d)/(d theta) f ( theta ) = underset(h -> 0)(lim) ((2)/(sqrt(4 - theta - h)) - (2)/(sqrt(4 - theta)))/(h)

(d)/(d theta) f ( theta ) = underset(h -> 0)(lim) ((2)/(sqrt(4 - theta - h)) * (sqrt(4 - theta))/(sqrt(4 - theta)) - (2)/(sqrt(4 - theta)) * (sqrt(4 - theta - h))/(sqrt(4 - theta - h)))/(h)

(d)/(d theta) f ( theta ) = underset(h -> 0)(lim) (2 ( sqrt(4 - theta) - sqrt(4 - theta - h) ))/(h * sqrt(4 - theta - h) * sqrt(4 - theta))

Para desenvolver a expressão, é necessário lembrar que ( a + b ) ( a - b ) = a^2 - b^2

(d)/(d theta) f ( theta ) = underset(h -> 0)(lim) (2 ( sqrt(4 - theta) - sqrt(4 - theta - h) ))/(h * sqrt(4 - theta - h) * sqrt(4 - theta)) * (( sqrt(4 - theta) + sqrt(4 - theta - h) ))/(( sqrt(4 - theta) + sqrt(4 - theta - h) ))

(d)/(d theta) f ( theta ) = underset(h -> 0)(lim) (2 [ 4 - theta - ( 4 - theta - h ) ])/(h * sqrt(4 - theta - h) * sqrt(4 - theta) * ( sqrt(4 - theta) + sqrt(4 - theta - h) ))

(d)/(d theta) f ( theta ) = underset(h -> 0)(lim) (2 h)/(h * sqrt(4 - theta - h) * sqrt(4 - theta) * ( sqrt(4 - theta) + sqrt(4 - theta - h) ))

(d)/(d theta) f ( theta ) = underset(h -> 0)(lim) (2)/(sqrt(4 - theta - h) * sqrt(4 - theta) * ( sqrt(4 - theta) + sqrt(4 - theta - h) ))

(d)/(d theta) f ( theta ) = (2)/(sqrt(4 - theta - 0) * sqrt(4 - theta) * ( sqrt(4 - theta) + sqrt(4 - theta - 0) ))

(d)/(d theta) f ( theta ) = (2)/(sqrt(4 - theta) * sqrt(4 - theta) * ( sqrt(4 - theta) + sqrt(4 - theta) ))

(d)/(d theta) f ( theta ) = (2)/(2 ( 4 - theta )^((3)/(2)))

(d)/(d theta) f ( theta ) = (1)/(( 4 - theta )^((3)/(2)))

Passo 3

Para encontrar a derivada no ponto theta = 0 , basta substituir theta no resultado calculado anteriormente

(d)/(d theta) f ( 0 ) = (1)/(( 4 - 0 )^((3)/(2)))

(d)/(d theta) f ( 0 ) = (1)/(8)

Resposta

(d)/(d theta) f ( 0 ) = (1)/(8)

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