Use o método de Newton com o valor inicial especificado x_1 para encontrar x₃ , a terceira aproximação da raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais.)

6. (1 / 3)x^3 + (1 / 2)x^2 + 3 = 0, x1 = -3

Passo 1

Oi Oi, bora matar mais essa?

Nessa questão temos a seguinte equação:

1 3 x 3 + 1 2 x 2 + 3 = 0

E queremos encontrar a sua raiz.

Para isso vamos usar um método iterativo que é o método de Newton.

Basicamente, nós começamos com um chute inicial para essa raiz, que foi dada no enunciado e vale:

x 1 = - 3

E para encontrar o próximo valor, faremos a seguinte iteração:

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

O enunciado pede para fazer até a segunda iteração e portanto encontrar o valor de x 3 (com quatro casas decimais.)

Passo 2

Sendo assim, utilizamos a fórmula, para a primeira iteração

x 2 = x 1 - f ( x 1 ) f ' ( x 1 )

No nosso exemplo

f x = 1 3 x 3 + 1 2 x 2 + 3

E sua derivada é, portanto,

f ' x = 3 3 x 2 + 2 2 x + 0

f ' x = x 2 + x

E para a primeira iteração temos:

x 1 = - 3

Portanto,

f x 1 = 1 3 - 3 3 + 1 2 - 3 2 + 3 = - 1,5

f ' x 1 = - 3 2 + - 3 = 6

Então,

x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

x 2 = - 3 - - 6 + 4,5 6

x 2 = - 3 + 0,25

x 2 = - 2,75

Achamos x 2 = - 2,75 .

Passo 3

Para a segunda e última iteração, temos:

x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2

Usando x 2 = - 2,75 , temos:

f x 2 = 1 3 - 2,75 3 + 1 2 - 2,75 2 + 3

f x 2 = - 0,151042

E

f ' x 2 = - 2,75 2 + - 2,75

f ' x 2 = - 10,3125

Dessa forma, temos:

x 3 = - 2,75 - - 0,151042 - 10,3125

x 3 ≈ - 2,7186

Resposta

x 3 ≈ - 2,7186

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