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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 20

Determine (d r)/(d theta) nos Exercícios 17-20.

20. cos (r) + c o t g (theta) = e^(r theta)

Passo 1

Então pessoal, assim como manda o manual, ou seja, assim como discutido na seção 7 do George, a técnica que devemos utilizar para derivar essa função implicitamente é a seguinte:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a theta , considerando r como uma função derivável de theta ;

2. Agrupar os termos que possuem (d r)/(d theta) em um lado da equação e isolar (d r)/(d theta) .

Sabendo disso, já podemos tranquilamente derivar a função que nos foi pedida, beleza? Bora lá!

Passo 2

Aplicando o passo 1 na equação, teremos:

- s e n (r) . (d r)/(d theta) - c o s s e c^2 (theta) = e^(r theta) . ln e . ( r theta ) '

Lembrando que (c o t g (theta))^' = - c o s s e c ² ( theta ) . Ademais, para derivarmos essa multiplicação de funções que surgiu, devemos nos lembrar da regra do produto, que nos diz o seguinte:

(f . g)^' = f^' . g + f . g '

(r theta)^' = (d r)/(d theta) . theta + r

Substituindo na equação derivada, teremos:

- s e n (r) . (d r)/(d theta) - c o s s e c^2 (theta) = e^(r theta) . ((d r)/(d theta) . theta + r)

Passo 3

Agora que derivamos ambos os lados, nos resta aplicar o passo 2, isto é, isolar a derivada que encontramos. Fazendo isso, teremos:

- s e n (r) . (d r)/(d theta) - c o s s e c^2 (theta) = e^(r theta) . (d r)/(d theta) . theta + e^(r theta) . r

- s e n (r) . (d r)/(d theta) - e^(r theta) . (d r)/(d theta) . theta = e^(r theta) . r + c o s s e c^2 (theta)

(d r)/(d theta) . (- s e n (r) - e^(r theta) . theta) = e^(r theta) . r + c o s s e c^2 (theta)

:. (d r)/(d theta) = - (e^(r theta) . r + c o s s e c^2 (theta))/(s e n (r) + e^(r theta) . theta)

Resposta

(d r)/(d theta) = - ((e^(r theta) . r + c o s s e c^2 (theta)))/(s e n (r) + e^(r theta) . theta)

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