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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 70

Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) .

70. y = sqrt(3 t + sqrt(2 + sqrt(1 - t)))

Passo 1

Essa questão é beeeeem delicada, gente! Teremos que utilizar 3 regras da cadeia para achar o resultado de y ' , beleza? No entanto, se fizermos passo a passo essa derivada sai. Vamos fazer o seguinte: vamos ir derivando pela ordem das raízes, isto é, vamos derivar primeiro a raíz mais externa, depois a do meio e, por fim, a mais interna.

Reescrevendo a função y , teremos:

y = (3 t + sqrt(2 + sqrt(1 - t)))^((1)/(2))

Passo 2

Utilizando a 1ª regra da cadeia, teremos:

(d y)/(d t) = (1)/(2) . (3 t + sqrt(2 + sqrt(1 - t)))^(- (1)/(2)) . (3 t + sqrt(2 + sqrt(1 - t)))^'

Agora a função que temos que derivar é aquela ali com apóstofro, beleza? Para facilitar, vamos fazer:

g = (3 t + sqrt(2 + sqrt(1 - t)))

Passo 3

Reescrevendo a função g , teremos:

g = 3 t + (2 + sqrt(1 - t))^((1)/(2))

Aplicando a 2ª regra da cadeia:

g^' = 3 + (1)/(2) . (2 + sqrt(1 - t))^(- (1)/(2)) . (2 + sqrt(1 - t)) '

Agora, por fim, a função que temos que derivar é essa aí que está com apóstofro, beleza? Vamos fazer:

h = (2 + sqrt(1 - t)) '

Passo 4

Reescrevendo a função h , teremos:

h = 2 + ( 1 - t )^((1)/(2))

Utilizando a 3ª regra da cadeia, teremos:

h^' = (1)/(2) . (1 - t)^(- (1)/(2)) . ( 1 - t ) '

:. h^' = - (1)/(2) . (1 - t)^(- (1)/(2))

Passo 5

Agora que descobrimos todas as derivadas, vamos ir colocando nos seus lugares passo a passo, beleza? Se liga!

g^' = 3 + (1)/(2) . (2 + sqrt(1 - t))^(- (1)/(2)) . (2 + sqrt(1 - t))^'

:. g^' = 3 + (1)/(2) . (2 + sqrt(1 - t))^(- (1)/(2)) . (- (1)/(2) . (1 - t)^(- (1)/(2)))

(d y)/(d t) = (1)/(2) . (3 t + sqrt(2 + sqrt(1 - t)))^(- (1)/(2)) . (3 t + sqrt(2 + sqrt(1 - t)))^'

(d y)/(d t) = (1)/(2) . (3 t + sqrt(2 + sqrt(1 - t)))^(- (1)/(2)) . (3 + (1)/(2) . (2 + sqrt(1 - t))^(- (1)/(2)) . (- (1)/(2) . (1 - t)^(- (1)/(2))))

Fazendo as simplificações, teremos:

(d y)/(d t) = (1)/(2) . (1)/(sqrt(3 t + sqrt(2 + sqrt(1 - t)))) . (3 - (1)/(4) . (1)/(sqrt(2 + sqrt(1 - t)) . sqrt(1 - t)))

:. (d y)/(d t) = (12)/(8) . ((sqrt(2 + sqrt(1 - t)) . sqrt(1 - t) - 1))/(sqrt(3 t + sqrt(2 + sqrt(1 - t))) . sqrt(2 + sqrt(1 - t)) . sqrt(1 - t))

Resposta

(d y)/(d t) = (12)/(8) . ((sqrt(2 + sqrt(1 - t)) . sqrt(1 - t) - 1))/(sqrt(3 t + sqrt(2 + sqrt(1 - t))) . sqrt(2 + sqrt(1 - t)) . sqrt(1 - t))

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