Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 60
Determine se existe ou não .
Passo 1
E aí, preparados para mais um exercício?
Esse aqui é sobre a existência da derivada em um ponto!
Para saber se a derivada em um ponto existe, devemos usar a definição de derivada que é essa aqui:
Se esse nosso limite existir para , então a nossa derivada vai existir, beleza??
A questão aqui é como calcular esse limite, temos que prestar atenção que nossa função é composta por duas equações, e isso deve ser levado em consideração.
Como estamos trabalhando com a função , que é uma função limitada:
Podemos utilizar, com as manipulações algébricas apropriadas, o Teorema do confronto.
o Teorema do confronto diz que:
Se tivermos 3 funções tal que:
e
Então podemos dizer que:
E é isso que iremos utilizar aqui.
Passo 2
Se , então
Perceba que a função que nos é dada tem como domínio todos os valores reais: ela é definida por
para e vale para
A partir disso, sabemos já que e o nosso
Substituindo esses valores na nossa expressão, iremos ficar com isso aqui:
Realizando as simplificações:
Agora simplificando o
Tranquilo até aqui? 😇
Passo 3
Agora que já temos uma expressão para o nosso limite, temos que analisá-lo e ver se é possível resolvê-lo. Acontece que o limite de quando o tende a zero não existe, e aí a gente vai ter que usar algum artifício para contornar esse problema!
Para dar um jeito nisso aqui, vamos trabalhar com o teorema do confronto, que foi comentado no nosso passo 1!
Beleza até aqui? Dá uma olhada com calma nesse teorema que a gente vai usar agora!
A gente tem que começar pensando que, com o limite que estamos trabalhando, temos duas funções:
e outra
Multiplicando as duas, vamos ter a nossa expressão que é , tranquilo até aqui?
A função seno é limitada entre e , essa é uma propriedade dela, fechou? Logo, teremos que:
Se a gente multiplicar tudo por , vamos ter:
Ooooopa! Ficou no mesmo formato do teorema do confronto, percebeu?
Temos uma função ali no meio (que é a nossa) limitada por duas outras funções.
Veja só! 😉
Passo 4
Temos agora que encontrar
e o
Esses limites aqui não têm muito mistério: ambos vão ser iguais a zero, beleza? Ou seja:
Para ajudar a dar uma visualizada, vou pegar essa expressão aqui:
E aplicar o limite com tendendo a nela inteira! Saca só:
Substituindo os valores dos limites nas extremidades:
Ora, se a função é maior ou igual à e menor ou igual à , ela só pode valer entendeu? Ou seja, teremos que:
Pronto, esse exercício aqui foi detonado ;)
O que achou? Responde Aí! 😉
Resposta
para a função dada existe e vale .